Teoremas de Green, Gauss y Stokes

Una región plana tiene una o varias curvas como borde. Un volumen tiene una superficie cerrada como frontera. Una superficie abierta puede tener una curva como borde. No intercambiamos esas dimensiones: una curva espacial no delimita por sí sola un volumen.

En el dibujo sumamos recorridos de pequeñas celdas. Un borde compartido se recorre una vez en cada sentido y su contribución se anula. Esta cancelación explica la estructura de los teoremas; una demostración completa también controla aproximaciones y regularidad.

Para F=(P,Q,R), div F=Pₓ+Qᵧ+R_z suma las variaciones de cada componente en su propia coordenada. Mide salida neta local. Un campo constante puede ser no nulo y tener divergencia cero.

Sus componentes son diferencias de parciales, no la misma suma de la divergencia. En el plano Qₓ−Pᵧ es la componente perpendicular de rotación.

Sea D una región plana acotada con frontera regular por tramos, y P,Q de clase C¹ en un abierto que contiene la región y su frontera.

Orientación positiva deja la región a la izquierda del avance: borde exterior antihorario y bordes de agujeros horarios. Incluimos todas las componentes. Recorrer también los agujeros antihorariamente cambiaría la cantidad solicitada.

Para F=(P,Q), el flujo exterior por una curva positivamente orientada es ∮(P dy−Q dx). Green lo convierte en ∫∫_D(Pₓ+Qᵧ)dA. La combinación dy,−dx apunta hacia fuera cuando el interior queda a la izquierda.

Circulación usa componente tangencial; flujo usa componente normal. Aunque recorran la misma curva, pueden tener valores completamente distintos. Escribimos qué cantidad se pide antes de elegir derivadas.

Sea V un volumen acotado con frontera regular por tramos y normal exterior.

La superficie de la izquierda debe estar completa.

Si falta una tapa, podemos añadirla, aplicar Gauss al conjunto cerrado y restar el flujo de la tapa con su normal exterior. Para normal interior, el flujo final cambia de signo. Una singularidad dentro del volumen puede impedir la aplicación aunque el campo sea suave en la frontera.

Para una superficie orientada suficientemente regular, por ejemplo C² por partes, y F de clase C¹ en un abierto que contiene la superficie, Stokes da ∮∂S F·dr=∫∫_S(curlF)·n dS. El flujo es del rotacional, no del campo F.

La orientación del borde corresponde a la normal por la regla de la mano derecha. Para un disco horizontal con normal hacia arriba, el borde se recorre antihorario visto desde arriba. Invertir la normal exige invertir también ese recorrido.

Si S₁ y S₂ tienen el mismo borde con la misma orientación inducida, y F es C¹ en un entorno de cada una, Stokes permite calcular la circulación con cualquiera. Elegimos la superficie que haga sencillo el rotacional y su normal.

Gauss conecta volumen y superficie cerrada; Stokes, superficie y curva borde. Una superficie cerrada, como superficie, tiene borde vacío; eso no significa que su flujo de F sea siempre cero.

El campo F=(x,y,z)/(x²+y²+z²)^(3/2) tiene divergencia cero fuera del origen. Su flujo por una esfera centrada en cero es 4π, porque el campo no está definido en el origen del volumen interior. La hipótesis de Gauss falla allí.

Si retiramos una bola alrededor del origen, aparece una frontera interior con normal dirigida hacia el hueco. En ese dominio perforado sí podemos aplicar Gauss y ambos flujos se cancelan. No omitimos esa frontera adicional.

Si div F=0 y Gauss es aplicable, el flujo exterior total es cero. Puede entrar campo por una cara y salir por otra: cada pieza no tiene por qué dar cero. Un campo constante es un ejemplo inmediato.

Si curl F=0 y Stokes se aplica a una superficie, la circulación por su borde es cero. Para independencia de todos los caminos de un dominio se requieren condiciones globales adecuadas, como simple conexión junto con regularidad. Tener un potencial global lo demuestra directamente.

Una circulación plana cerrada sugiere Green; flujo por la frontera de un volumen, Gauss; circulación espacial con una superficie de borde conocido, Stokes. Antes de derivar declaramos orientación y revisamos dónde es C¹ el campo.

Si las condiciones fallan, volvemos a la parametrización o elegimos una región válida y tratamos sus fronteras adicionales. Una cuenta directa sencilla sirve para comprobar signos. Los teoremas simplifican integrales concretas; no convierten cualquier integral escalar en una circulación o un flujo.