Frecuencia angular de y″+9y=0.
La característica tiene raíces ±3i.
Sus raíces son ±3i y las soluciones reales son cos3t y sen3t.
La frecuencia angular es tres, mientras que la frecuencia ordinaria sería 3/(2π).
Dimensión del espacio de soluciones de una EDO homogénea regular de orden cuatro.
Necesita cuatro datos.
Se supone una ecuación homogénea regular de orden cuatro, con coeficientes continuos y principal no nulo.
Cuatro datos iniciales independientes determinan una única solución.
El espacio de soluciones tiene dimensión cuatro.
Para y″=0,y(0)=1,y′(0)=3, calcula y(2).
La derivada es constante.
Encuentra una particular de y″+y=sin t.
El forzamiento resuena con la homogénea.
La homogénea contiene sen t y cos t, así un ensayo sin factor t se anularía por el operador.
Su derivada es Ccos t−Ct sen t y su segunda es −2Csen t−Ct cos t.
Sumar y_p deja −2Csen t. Igualamos a sen t y obtenemos C=−1/2; una particular es −(t/2)cos t.
Justifica por qué e^t y 2e^t no forman un sistema fundamental de orden dos.
Comprueba independencia.
Si y₁=e^t e y₂=2e^t, la relación 2y₁−y₂=0 tiene coeficientes no todos nulos y demuestra dependencia.
Toda combinación es (A+2B)e^t y solo tiene una constante efectiva.
El espacio generado tiene dimensión uno y no puede ser un sistema fundamental de una ecuación regular de orden dos.