Ecuaciones lineales de orden superior

Es lineal en y y sus derivadas: no hay productos entre ellas ni potencias diferentes de uno. Los coeficientes pueden variar con t. En un intervalo donde aₙ no se anula, dividimos por él para normalizar.

Con coeficientes normalizados continuos, los n datos y(t₀),y′(t₀),…,y⁽ⁿ⁻¹⁾(t₀) determinan una única solución en ese intervalo. Se demuestra formando un sistema de n variables de estado con esas derivadas. Si el coeficiente principal se anula, no aplicamos esa conclusión sin estudiar el punto singular.

Así las soluciones de L[y]=0 forman un espacio vectorial. El mapa que les asigna los n datos iniciales es lineal y biyectivo por existencia y unicidad: su dimensión es n.

n soluciones independientes forman un sistema fundamental.

Por tanto todas son y=yₚ+una combinación de las fundamentales. La familia forzada no suele ser un espacio vectorial, porque sumar dos soluciones con el mismo g produce forzamiento 2g.

La matriz de datos de y₁,…,yₙ tiene filas de derivadas desde orden cero hasta n−1. Su determinante W es el Wronskiano. Si W(t₀) no es cero, el sistema para las constantes tiene solución única para cualquier lista de datos: las funciones son independientes.

Para segundo orden normalizado y″+p y′+q y=0, W′=y₁y₂″−y₁″y₂=−pW, tras sustituir las ecuaciones.

En orden n aparece el coeficiente de y⁽ⁿ⁻¹⁾. Para soluciones de una misma ecuación regular, W es siempre cero o nunca cero.

El contexto es esencial: para funciones arbitrarias, un Wronskiano idénticamente cero no fuerza por sí solo dependencia. No trasladamos una conclusión de soluciones regulares a cualquier pareja de funciones sin comprobar sus hipótesis.

La exponencial no se anula y una raíz de P produce una solución.

Las raíces simples distintas aportan modos independientes; al contar multiplicidades deben obtenerse n funciones. Una raíz real positiva crece hacia el futuro y una negativa decae. Las partes imaginarias producen oscilaciones. Primero calculamos raíces y después construimos las funciones, en lugar de confundir los dos objetos.

Si r tiene multiplicidad m, usamos e^(rt),t e^(rt),…,t^(m−1)e^(rt). Dos copias de e^(rt) solo sumarían sus constantes y no aportarían otra dirección. Las potencias de t producen la independencia que falta.

Al repetir m veces, queda e^(rt)v⁽ᵐ⁾. Los polinomios de grado menor que m se anulan. Como los factores de un operador de coeficientes constantes conmutan, estas funciones también satisfacen el operador característico completo que contiene ese factor.

Con coeficientes reales, una raíz α+iβ, β no nulo, viene con su conjugada α−iβ.

Las partes real e imaginaria son dos soluciones reales independientes.

Si el par es repetido con multiplicidad m, multiplicamos ambas funciones por tᵏ para k=0,…,m−1. El factor e^(αt) controla crecimiento o decaimiento; β fija frecuencia angular. La frecuencia de ciclos por unidad de tiempo es |β|/(2π), y el período del factor trigonométrico es 2π/|β|.

Con coeficientes constantes y forzamientos hechos de polinomios, exponenciales, senos, cosenos y sus productos, derivar conserva una familia finita de funciones. Ensayamos una combinación con coeficientes desconocidos y los ajustamos al sustituir.

Si la familia ensayada está en el núcleo homogéneo, el operador la anula y no puede generar el forzamiento. Multiplicamos por tᵐ, donde m es la multiplicidad de la raíz característica asociada a esa exponencial u oscilación. Esa coincidencia es la resonancia algebraica.

En un oscilador sin amortiguamiento, una fuerza periódica de amplitud acotada puede producir una respuesta de amplitud creciente si coincide con la frecuencia propia. El factor t del ensayo muestra ese efecto. No se deduce que la respuesta permanezca pequeña porque el forzamiento sea acotado.

Resolver esas dos ecuaciones con W no nulo da u₁′=−y₂g/W y u₂′=y₁g/W. Integramos y formamos yₚ. Las constantes de las primitivas aportan términos homogéneos y se absorben en la familia general. La ecuación debe estar normalizada antes de usar g en estas fórmulas.

Una vez reunidas homogénea y particular, derivamos y ajustamos las n constantes con los n datos dados en el mismo instante. Omitir una particular puede permitir ajustar los datos y, aun así, incumplir toda la ecuación forzada.

Dos condiciones en tiempos distintos son condiciones de contorno y no tienen la misma garantía de unicidad. Pueden dejar ninguna, una o varias soluciones según el problema. La verificación final comprueba el operador original y cada condición por separado.