Número de equilibrios de y′=y(1−y).
Anula el producto.
Son dos valores distintos, por lo que hay dos equilibrios.
Autovalor del sistema escalar x′=−4x.
El coeficiente es la matriz 1×1.
Un sistema escalar x′=ax tiene como matriz el número a.
Aquí la matriz de tamaño uno es [−4].
Su único autovalor es −4 y las soluciones evolucionan como x₀e^(−4t).
Determinante de diag(1,−2).
Multiplica autovalores.
La matriz es diagonal y su determinante es el producto de la diagonal.
El signo negativo indica autovalores reales de signos opuestos en dimensión dos, por lo que corresponde a una silla.
Clasifica el origen de x′=−y,y′=x.
Calcula la derivada de x²+y².
La norma permanece constante; escoger δ=ε mantiene toda trayectoria inicialmente cercana dentro del radio ε.
Salvo el dato cero, esa distancia no tiende a cero. El origen es estable y no asintóticamente estable, con órbitas circulares.
Explica por qué dos soluciones autónomas no pueden cruzarse si hay unicidad.
Traslada el tiempo para comparar en el punto de cruce.
Si dos órbitas autónomas se cruzaran en un estado p, trasladamos el origen temporal de cada solución al instante en que pasa por p.
La unicidad obliga a que coincidan localmente y, al prolongar, describan la misma órbita. No hay cruces de órbitas distintas; diferentes tiempos sobre una misma órbita sí son posibles.