Equilibrios, plano de fases y estabilidad

Para z′=F(z), un equilibrio z* cumple F(z*)=0 y produce la solución constante z(t)=z*. Si solo una componente se anula, estamos en una nullclina: una dirección de velocidad es cero, pero la otra puede seguir moviéndose.

Supondremos F C¹ en un entorno, de modo que haya unicidad local. En el caso lineal, los equilibrios son ker A. El origen es único si A es invertible; si no, puede haber una recta u otro subespacio entero de estados constantes.

Estabilidad de Lyapunov: para cada tolerancia ε>0 suficientemente pequeña existe δ>0 tal que todo dato con ‖z₀−z*‖<δ produce una trayectoria definida para el futuro y que permanece a distancia menor que ε para todo t≥0. δ puede depender de ε, pero debe servir para todos los datos de esa bola.

Inestabilidad significa que hay alguna tolerancia fija imposible de proteger: por pequeño que sea δ, encontramos un dato dentro que acaba saliendo. Encontrar una trayectoria que converge no basta para demostrar estabilidad; debemos controlar también las otras direcciones.

Un equilibrio es atractivo localmente si las soluciones de algún entorno convergen a él cuando t→∞. Es asintóticamente estable si además es estable. Estabilidad sola permite que una órbita permanezca cerca sin reducir su distancia.

Estabilidad exponencial pide ‖z(t)−z*‖≤Ce^(−αt)‖z₀−z*‖, con constantes C,α>0 comunes para datos próximos. Una atracción global requiere cubrir todos los datos del dominio considerado. El alcance local o global forma parte de la conclusión.

El vector F(x,y) es tangente al movimiento.

Sus intersecciones son equilibrios, pero una nullclina completa no tiene por qué ser una trayectoria: el campo puede atravesarla.

Donde f no es cero, dy/dx=g/f describe la pendiente de una órbita. Donde f=0, puede haber un tramo con tangente vertical que esa división no describe. Por unicidad, dos órbitas distintas no pueden cruzarse: si compartieran un estado, trasladar el tiempo daría dos soluciones del mismo dato.

Una órbita periódica sí vuelve a sus propios puntos.

Un autovector real v con valor λ evoluciona como ce^(λt)v. Todas las partes reales negativas dan estabilidad exponencial; alguna parte positiva da inestabilidad. En la frontera de partes reales cero, los bloques importan.

El criterio lineal completo de estabilidad es: partes reales no positivas y bloques de Jordan de tamaño uno para los autovalores de parte real cero. Un bloque mayor produce crecimiento polinómico. Las estimaciones pueden necesitar C>1 porque una matriz no normal puede amplificar inicialmente ciertos datos antes de decaer.

El polinomio es λ²−Tλ+D. Si D<0 hay dos valores reales de signos opuestos: silla. Si D>0 y Δ>0 son reales del mismo signo: nodo que atrae si T<0 y que repele si T>0.

Si D>0 y Δ<0, son un par complejo de parte real T/2: foco estable para T<0, inestable para T>0.

Si Δ=0 revisamos si hay matriz escalar o bloque repetido; con D=0 revisamos la degeneración. Estas reglas clasifican el sistema lineal, no cualquier sistema no lineal con ese jacobiano.

Un cambio lineal invertible puede convertir circunferencias en elipses. Las normas antes y después se comparan por constantes positivas, así se conserva estabilidad aunque no la forma de las órbitas ni la distancia euclídea de cada instante.

Para sistemas no lineales, valores imaginarios puros del jacobiano no bastan para afirmar que hay un centro. Los términos superiores pueden hacer crecer o decrecer lentamente el radio. La clasificación automática del espectro lineal solo es concluyente bajo las condiciones correspondientes.

Entre ceros, el signo indica hacia dónde se mueven las soluciones. Con unicidad, si apunta hacia un equilibrio desde ambos lados, obtenemos estabilidad y atracción locales; si se aleja por algún lado, hay inestabilidad.

Una derivada f′ negativa en el equilibrio confirma atracción y una positiva repulsión. Si f′=0, el criterio lineal no decide: miramos los primeros términos no nulos o el signo completo. Atraer desde un solo lado no satisface la definición con todas las perturbaciones de una bola.

Buscamos V C¹ con V(z*)=0 y V>0 cerca fuera del equilibrio.

Si V̇≤0, los subniveles pequeños controlan la cercanía y prueban estabilidad. Si V̇<0 fuera del equilibrio, el teorema de Lyapunov estricto da estabilidad asintótica local.

Para conclusiones globales necesitamos controlar el dominio y los subniveles. En ℝⁿ, una V que crece sin límite con la norma tiene subniveles compactos; si V no aumenta y el campo es regular, impide escapar o explotar en tiempo finito. Una desigualdad V̇≤−cV además da una tasa exponencial.