EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Primer autovalor de −y″ en (0,1) con extremos cero.
- PISTA 1
Una pista
Usa (π/L)².
Un desarrollo posible.
- Para −y″ con extremos Dirichlet en (0,L), λ₁=(π/L)².
- Aquí L=1.
El primer valor propio es π².
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Segundo autovalor en (0,π).
- PISTA 1
Una pista
Usa n².
Un desarrollo posible.
- En el intervalo (0,π), λ_n=n² con n≥1.
- El segundo corresponde a n=2.
- λ₂=2²=4.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Número de soluciones no triviales si λ=0 y ambos extremos son cero.
- PISTA 1
Una pista
Una función afín con dos ceros es nula.
Un desarrollo posible.
- Con λ=0, y″=0 y la familia es Ax+B.
- y(0)=0 fuerza B=0 y y(L)=0 fuerza AL=0.
- Como L>0, A=0.
Solo queda la solución trivial y hay cero soluciones no triviales.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Demuestra ortogonalidad de sin x y sin 2x en (0,π).
- PISTA 1
Una pista
Usa producto a suma o integración.
Un desarrollo posible.
- Usamos 2sen x sen2x=cos x−cos3x.
Integramos de cero a π: ∫sen x sen2x=(1/2)[sen x−(1/3)sen3x]₀^π.
Todos los valores de seno en los extremos son cero, así la integral es cero y las funciones son ortogonales.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué una autofunción admite cualquier múltiplo como solución.
- PISTA 1
Una pista
La ecuación y las condiciones son homogéneas.
Un desarrollo posible.
- Si y satisface −y″=λy, entonces −(cy)″=c(−y″)=λ(cy) para cualquier constante c.
Las condiciones homogéneas y(a)=y(b)=0 también se conservan al multiplicar.
Todo múltiplo es solución; para que siga llamándose autofunción se exige c≠0, pues la autofunción debe ser no nula.