Problemas de contorno y valores propios

Una ecuación lineal regular de segundo orden tiene dos constantes libres. y(a),y′(a) las fijan de forma única por el teorema inicial. En cambio, y(a),y(b) pueden producir dos ecuaciones dependientes o incompatibles para esas constantes.

Se comprueba el sistema resultante: contar condiciones no basta para afirmar existencia o unicidad. Si ambas condiciones se reducen a la misma igualdad, queda libertad; si exigen valores contradictorios de la misma combinación, no habrá solución.

Dirichlet fija el valor de y; Neumann fija su derivada normal; Robin combina ambos. En [0,L], la normal exterior izquierda apunta hacia menos x y la derecha hacia más x: las derivadas normales son −y′(0) y y′(L). Condiciones homogéneas tienen lado derecho cero.

El operador no queda especificado solo por la expresión diferencial: también forman parte sus condiciones. Cambiarlas puede añadir un modo constante o incluso valores propios negativos. Los signos de Robin deben escribirse con la convención normal elegida.

En L[y]=λwy con condiciones homogéneas, y=0 siempre sirve. λ es valor propio únicamente si también existe alguna solución no nula. Esa función se llama autofunción y describe un modo permitido por la ecuación y el borde simultáneamente.

Multiplicar una autofunción por una constante no nula no cambia el valor propio. Por eso buscamos direcciones de funciones y después elegimos una normalización. Multiplicar por cero produce la solución cero, que no es una autofunción.

En −y″=λy sobre (0,L), con extremos cero, si λ=k²>0 usamos A cos(kx)+B sen(kx). El primer extremo da A=0; una función no nula exige sen(kL)=0.

Si λ=0, las funciones afines quedan anuladas por los extremos. Si λ=−k²<0, la base es cosh(kx),senh(kx); el primer extremo elimina cosh y el segundo elimina senh porque kL>0. Con esto no se omite ningún signo. Cambiar la segunda condición cambia la ecuación que deben satisfacer las frecuencias.

Añadimos condiciones homogéneas separadas reales, no triviales, que anulen p(u v′−u′v) al evaluar los bordes.

La positividad de w garantiza norma positiva para una función no nula. En ese espacio, el operador asociado es T[y]=L[y]/w con el dominio de condiciones elegido. La integración por partes mostrará su simetría; estas hipótesis sustentan el teorema espectral regular.

Si L[u]=λwu y L[v]=μwv, multiplicamos la primera por v, la segunda por u, restamos e integramos.

Las condiciones autoadjuntas anulan el borde.

Para λ,μ reales distintos, el producto ponderado es cero. Para una autofunción compleja usamos su conjugada en la identidad: (λ−conjugado(λ))∫w|u|²=0. Como la norma es positiva, λ debe ser real. Ni la realidad ni la ortogonalidad se deducen solo de que un ejemplo use senos.

El teorema espectral regular, bajo las hipótesis anteriores y bordes separados autoadjuntos, da una sucesión real creciente de valores propios simples que tiende a +∞. Sus autofunciones pueden normalizarse y forman una base completa en L² con peso w.

Normalizamos dividiendo por √(∫w|yₙ|²). Los coeficientes de f son sus productos interiores con los modos normalizados. La convergencia general es en norma L²w. Convergencia puntual, uniformidad y derivar la serie requieren hipótesis adicionales sobre datos y regularidad.

Con bordes Dirichlet, multiplicar L[y]=λwy por y e integrar da λ=∫[p(y′)²+qy²]/∫wy². El borde se anula y el denominador es positivo. Si q≥0, el numerador de una autofunción no nula es positivo: si fuese cero, y′ sería cero y los extremos obligarían y=0.

La caracterización variacional del primer valor propio es el mínimo de este cociente de Rayleigh entre funciones de prueba admisibles no nulas con extremos cero y energía finita. Una prueba concreta ofrece una cota superior. Con otros bordes hay que conservar sus términos, y con q negativo no se deduce positividad.

Para (T−λ)y=g, con T=L/w y λ propio, la identidad autoadjunta exige ∫w g ϕ=0 para cada modo ϕ del núcleo.

Se especifica la formulación antes de colocar el peso.

En este marco regular autoadjunto, esa compatibilidad es también suficiente para el forzamiento apropiado. La solución no será única: se puede añadir cualquier modo homogéneo del núcleo. Imponer que y sea ortogonal al núcleo selecciona una representante. Fuera del espectro, el problema homogéneo solo tiene cero y el problema forzado tiene solución única.