EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Entrada (1,1) de e^(t diag(2,3)) en t=0.
- PISTA 1
Una pista
Toda exponencial matricial en cero es I.
Un desarrollo posible.
En t=0, la matriz exponencial de cualquier matriz cuadrada es I.
Para la diagonal dada, las entradas son e^(2t) y e^(3t).
La entrada (1,1) en cero es e⁰=1.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Determinante de e^(diag(1,2)).
- PISTA 1
Una pista
Multiplica e y e².
Un desarrollo posible.
La matriz diag(1,2) tiene exponencial diag(e,e²).
El determinante de una diagonal es el producto de sus entradas.
El resultado es e·e²=e³; también se obtiene con e^(tr A).
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Para una matriz cuadrada A con A²=0, ¿cuánto vale cada entrada del coeficiente de t² en e^(tA)?
- PISTA 1
Una pista
La potencia matricial correspondiente es cero.
Un desarrollo posible.
El término de grado dos de la serie es t²A²/2!.
Si A²=0, su coeficiente matricial es la matriz cero.
Todas sus entradas son cero; el coeficiente pedido se anula.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba que e^(tA) es invertible.
- PISTA 1
Una pista
Multiplica por e^(−tA), que conmuta.
Un desarrollo posible.
tA y−tA conmutan porque ambos son múltiplos de la misma matriz.
La ley exponencial aplicable da e^(tA)e^(−tA)=e⁰=I y también en orden inverso.
Por tanto e^(tA) es invertible y su inversa es e^(−tA).
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica la variación de constantes para x′=Ax+b(t).
- PISTA 1
Una pista
Escribe x=e^(tA)c(t).
Un desarrollo posible.
Buscamos x=e^(tA)c(t).
Al derivar, x′=Ae^(tA)c+e^(tA)c′.
Sustituir en x′=Ax+b cancela el primer término y da c′=e^(−tA)b.
Integramos c(t)=x₀+∫₀ᵗe^(−sA)b(s)ds y multiplicamos por e^(tA).
La conmutación entre exponentes de A lleva a la integral con núcleo e^((t−s)A).