Sistemas lineales y exponencial de una matriz

En z′=Az, el estado z es un vector y cada fila de A da una combinación de sus componentes. Las entradas fuera de la diagonal representan acoplamiento. Si A es diagonal, cada coordenada evoluciona por separado.

Con A constante, cualquier dato z₀ tiene solución única para todo tiempo real. Para reunir todos los datos buscamos X(t) con X′=AX y X(0)=I. Su columna j es la trayectoria que sale del vector canónico eⱼ. Multiplicar X por z₀ combinará esas soluciones básicas.

En una norma submultiplicativa, ‖Aᵏ‖≤‖A‖ᵏ, por lo que la norma de la serie se controla con e^(|t|‖A‖). Converge absolutamente para todo t y uniformemente en intervalos temporales compactos.

Las potencias se calculan con producto matricial: representan acoplamientos repetidos. No se aplica la exponencial a cada casilla por separado. A⁰ es I incluso cuando A es la matriz cero; por eso e⁰=I en este contexto.

La serie de derivadas también converge uniformemente en compactos, permitiendo derivar término a término.

A conmuta con sus propias potencias, así también puede escribirse e^(tA)A.

Por tanto z(t)=e^(tA)z₀ cumple ecuación y dato, y la unicidad garantiza que son todas las soluciones. Para un instante inicial t₀ usamos e^((t−t₀)A)z₀: la evolución depende del tiempo transcurrido, no del nombre del reloj.

Puede demostrarse multiplicando series absolutamente convergentes o por unicidad de las soluciones. Tomar s=−t da inversa e^(−tA), así las columnas nunca pierden independencia.

La regla de derivación del determinante, aplicada a X′=AX con X invertible, da d(det X)/dt=(tr A)det X y el dato uno. El determinante mide cambio de volumen; no basta para conocer la longitud de cada vector ni la estabilidad.

Las coordenadas propias evolucionan como e^(λᵢt)wᵢ(0).

También se deduce al sustituir Aᵏ=PDᵏP⁻¹ en cada término de la serie.

P solo necesita ser invertible; no tiene por qué ser ortogonal. Si no hay una base completa de autovectores, ese método diagonal no se aplica, pero la exponencial sigue existiendo y podremos usar bloques de Jordan u otras identidades.

En un bloque J=λI+N, con Nᵐ=0, las dos partes conmutan.

La suma termina porque las potencias siguientes son cero.

Es el mismo mecanismo que generaba tᵏe^(λt) en ecuaciones escalares con raíces repetidas. Los factores de tiempo pueden causar crecimiento con autovalores cero y amplificación transitoria incluso cuando finalmente domina una exponencial decreciente. Necesitamos mirar el bloque, además del valor propio.

Separar la serie par e impar da e^(tA)=e^(αt)[[cos(βt),−sen(βt)],[sen(βt),cos(βt)]]. La matriz trigonométrica es una rotación.

Si todas las partes reales del espectro son negativas, los factores exponenciales dominan cualquier polinomio de Jordan y hay decaimiento exponencial. Alguna parte positiva permite crecimiento. Cuando las partes reales son cero, revisar los bloques es esencial para saber si el propagador permanece acotado.

Integrar y volver a z produce e^(tA)z₀ más la integral de e^((t−s)A)b(s) desde cero hasta t.

El primer término transporta el dato. La integral acumula una entrada aplicada en cada instante s y evolucionada durante t−s. La continuidad de b basta para esta solución. La posición de la matriz dentro de la integral y el orden de los productos se mantienen.

Si AB=BA, e^(A+B)=eᴬeᴮ por la expansión binomial de las potencias y las series. Sin conmutación, el grado dos de la primera tiene (AB+BA)/2 y el producto tiene AB. No podemos trasladar automáticamente todas las reglas escalares.

Para z′=A(t)z con A continua, hay una matriz fundamental Φ, pero exp(∫A) no funciona en general. Sí funciona si las matrices de tiempos distintos conmutan, por ejemplo A(t)=tC con C fija. En general el propagador desde s a t es Φ(t)Φ(s)⁻¹; con forzamiento se usa variación de constantes mediante esa matriz fundamental.