¿Cuántas clases tiene la congruencia módulo 5 en Z?
Hay un resto por clase.
En congruencia módulo cinco, cada entero tiene un resto entre cero y cuatro.
Esos restos 0,1,2,3,4 generan clases distintas y cubren todos los enteros.
Por tanto hay 5 clases, aunque cada una tenga infinitos elementos.
¿Cuál es el representante entre 0 y 6 de [−3] módulo 7?
Suma un múltiplo de 7.
Buscamos un entero entre cero y seis equivalente a −3 módulo siete.
Sumamos siete: −3+7=4, que pertenece al intervalo pedido.
La diferencia 4−(−3)=7 es múltiplo de siete, así que el representante es 4.
Calcula [4]+[5] módulo 6; responde con representante de 0 a 5.
Suma y toma el resto.
Prueba que «tener la misma paridad» es equivalencia en Z.
Expresa la relación mediante divisibilidad por 2.
La misma paridad equivale a que dos enteros difieran en un múltiplo de dos.
Si a−b=2k y b−c=2ℓ, sumamos para obtener a−c=2(k+ℓ); esto prueba transitividad.
¿Las clases de una equivalencia pueden solaparse sin coincidir? Justifica.
Utiliza un elemento común.
Si c está en [a] y [b], tenemos c∼a y c∼b; por simetría y transitividad, a∼b.
Intercambiar a y b da la inclusión contraria. Las clases coinciden; no pueden solaparse parcialmente siendo distintas.