Agrupamos a con c, b con e y dejamos d solo. ¿Qué reglas hacen que esos grupos sean coherentes? Primero leeremos el dibujo; después probaremos las tres propiedades, construiremos un conjunto cuyos elementos sean los grupos y aprenderemos a calcular sin que el resultado dependa del nombre que demos a cada grupo.
Si necesitas repasar:
1. Relacionar es declarar una regla; equivaler no significa ser el mismo objeto
El dibujo divide A en tres bloques. Escribiremos x∼y cuando estén en el mismo bloque. a∼c es verdadero; a∼b es falso. Las letras a y c siguen siendo elementos distintos, aunque la regla los clasifique juntos.
Formalmente una relación sobre A selecciona pares de A×A. El par (a,c) está en esta relación porque a∼c. Aún debemos comprobar que la regla forma grupos coherentes: una relación cualquiera no tiene por qué ser equivalencia.
Leer los bloques sin confundir sus elementos
Decide c∼a, b∼e y d∼b en el dibujo.
Primer bloque
c y a están juntos: verdadero.
Segundo bloque
b y e están juntos: verdadero.
Bloques diferentes
d está solo y b en otro bloque: falso.
V,V,F.
No hemos dicho que c=a: hemos dicho que cumplen la misma categoría.
Escribir los pares de un bloque
¿Qué pares aporta el bloque {a,c} a la relación?
Primera componente a
Puede emparejarse con a o con c.
Primera componente c
Puede emparejarse con a o con c.
Lista
(a,a),(a,c),(c,a),(c,c).
Cuatro pares del bloque {a,c}.
El resto de la relación incluye también los pares internos de {b,e} y {d}; no hay pares entre bloques.
2. Las tres propiedades deben cumplirse para todos los elementos
Reflexiva: cada x se relaciona consigo mismo. Simétrica: si x∼y, también y∼x. Transitiva: si x∼y e y∼z, también x∼z. Cada propiedad tiene una hipótesis precisa; para refutarla debemos cumplir esa hipótesis y hacer fallar su conclusión.
En la regla de bloques, x está en su propio bloque. Si x e y comparten bloque, el orden no importa. Si x comparte bloque con y, e y con z, la unicidad del bloque que contiene a y obliga a que los tres estén juntos.
Esto prueba las propiedades para elementos arbitrarios, sin depender de cinco comprobaciones concretas.
| Propiedad | Condición |
|---|---|
| Reflexiva | x∼x para todo x |
| Simétrica | x∼y ⇒ y∼x |
| Transitiva | x∼y e y∼z ⇒ x∼z |
Una regla que sí cumple las tres
En ℤ, relaciona números que tengan la misma paridad.
Reflexiva
Un número tiene la misma paridad que él mismo.
Simétrica
Si x e y son ambos pares o ambos impares, también lo son al leer y,x.
Transitiva
Si x tiene la paridad de y e y la de z, x y z tienen esa misma paridad.
Es equivalencia: dos clases, pares e impares.
Cada entero tiene exactamente una de esas paridades.
Dos propiedades no bastan
En ℝ, considera xRy si x≤y.
Reflexiva
x≤x siempre.Transitiva
x≤y≤z implica x≤z.Simetría falla
1≤2 es verdadero, pero 2≤1 es falso.
No es equivalencia.
Para refutar simetría necesitamos una pareja relacionada cuya pareja inversa no lo esté.
3. Una clase es el conjunto entero; un representante solo le da nombre
Los corchetes no encierran un único objeto: piden todos los objetos relacionados con a.
Si a∼b, cualquier x de [a] cumple x∼a∼b, por transitividad.
La simetría permite invertir a y b y obtener la otra inclusión. Hemos probado que representantes equivalentes dan la misma clase. La reflexividad garantiza que a∈[a]; ninguna clase es vacía.
Cinco nombres, tres clases distintas
Escribe las clases de a,b,c,d,e.
Primer bloque
[a]=[c]={a,c}.Segundo
[b]=[e]={b,e}.Último
[d]={d}.
Tres clases distintas.
No contamos [a] y [c] dos veces porque son el mismo conjunto.
Elemento, clase y conjunto de clases
Con [a]={a,c}, decide a∈[a] y [a]∈A.
Pertenencia a la clase
a es una de las letras del conjunto {a,c}: sí.
Pertenencia a A
A contiene letras, no el conjunto {a,c}: no.
Otro nivel
[a] sí será elemento de A/∼, el conjunto de clases.
Primera verdadera; segunda falsa.
La diferencia está en el tipo de elemento que admite cada conjunto.
4. Dos clases que se tocan son la misma clase
Significa c∼a y c∼b. Por simetría a∼c; junto con c∼b, la transitividad da a∼b.
Por tanto dos clases diferentes no pueden compartir ni un elemento.
Cada elemento está en su clase, de modo que las clases cubren A. Si quitamos los nombres repetidos, tenemos una partición: bloques no vacíos, disjuntos dos a dos y con unión A. También funciona al revés: cualquier partición de A define una equivalencia mediante estar en el mismo bloque.
Una propuesta con solapamiento
¿Pueden {a,b} y {b,c} ser dos clases distintas de una equivalencia?
Elemento común
b pertenece a ambas.
Cadena obligada
a∼b y b∼c exigen a∼c.
Consecuencia
Las clases de a y c serían iguales, no esos dos conjuntos diferentes.
No pueden ser clases distintas.
No basta con que los conjuntos juntos cubran A; también deben ser disjuntos si son diferentes.
Construir la equivalencia desde una partición
En {1,2,3,4,5}, toma bloques {1,4},{2},{3,5}. ¿A qué equivale cinco?
Regla declarada
Dos elementos se relacionan cuando están en el mismo bloque.
Bloque de cinco
{3,5}.
Clase
[5]=[3]={3,5}.
Cinco equivale a tres y a cinco.
Los tres bloques son no vacíos, no se solapan y cubren el conjunto original.
5. El cociente convierte los bloques en nuevos elementos
A/∼ es el conjunto de clases distintas. En el dibujo vale {{a,c},{b,e},{d}}. Podemos escribirlo {[a],[b],[d]}, recordando que cada símbolo representa un conjunto entero. Tiene tres elementos, mientras A tiene cinco.
Es sobreyectiva porque cada clase tiene al menos un representante. En general no es inyectiva: elementos originales diferentes pueden llegar a la misma clase.
Seguir las flechas de la proyección
Calcula π(c), π(e) y π(d).
c
Está en {a,c}: π(c)=[a]=[c].e
Está en {b,e}: π(e)=[b]=[e].d
Está en {d}: π(d)=[d].
Llegan a las tres clases del dibujo.
Que π(c)=π(a) no obliga a c=a; sí obliga a c∼a.
Los casos extremos
En un conjunto no vacío A, compara relacionar solo elementos iguales con relacionarlos todos.
Solo iguales
Cada clase es un singleton {a}; la proyección es biyectiva.
Todos relacionados
La única clase es A; el cociente es {A}.
Contar
En el segundo caso hay un elemento en el cociente aunque A tenga muchos.
Clases individuales frente a una sola clase.
Si A fuera vacío, no habría clases y su cociente también sería vacío.
6. Módulo m agrupa enteros con el mismo resto
Definimos a∼b cuando a−b=km para algún entero k: su diferencia es múltiplo de m.
La división euclídea escribe a=qm+r con 0≤r<m, también para enteros negativos. a y r están relacionados. Dos restos diferentes de ese intervalo no pueden diferir en un múltiplo no nulo de m.
Resto positivo para un entero negativo
Describe la clase de −5 módulo cuatro.
División
−5=4(−2)+3; el resto tres cumple 0≤3<4.Diferencia
−5−3=−8 es múltiplo de cuatro.Clase
[−5]=[3]={…,−5,−1,3,7,11,…}.
La clase de resto tres.
−1 no es el resto euclídeo de −5 al dividir por cuatro porque es negativo.
Cuántos objetos y cuántas categorías
Escribe ℤ/4ℤ y coloca −2,8,13.
Cuatro clases
{[0],[1],[2],[3]}.
Ubicar
−2=4(−1)+2; 8=4·2+0; 13=4·3+1.Contar bien
Cada clase contiene infinitos enteros; el cociente tiene cuatro elementos.
−2∈[2], 8∈[0], 13∈[1].
Un representante nombra una clase, no limita su tamaño.
7. Calcular con clases exige independencia del representante
La diferencia de las sumas es (k+ℓ)m: los resultados siguen en la misma clase. Esta prueba general justifica la definición; un ejemplo solo la ilustra.
Suma y producto están bien definidos. Dividir requiere un inverso multiplicativo: no todas las clases lo tienen, y no se puede cancelar cualquier factor como si estuviéramos en los reales.
Cambiar nombres sin cambiar el resultado
Módulo cuatro, calcula [3]+[2] y [3][2], primero con 3,2 y después con −1,6.
Primeros representantes
3+2=5→[1]; 3·2=6→[2].Otros representantes
[−1]=[3] y [6]=[2].Repetir
−1+6=5→[1]; (−1)6=−6→[2], porque −6=4(−2)+2.
Suma [1]; producto [2], con ambas elecciones.
Coinciden las clases resultado; los productos enteros seis y menos seis son diferentes.
Por qué no siempre se puede dividir por dos
Busca un inverso de [2] módulo cuatro y después módulo cinco.
Módulo cuatro
2b es siempre par; nunca tiene resto uno al dividir por cuatro.
No hay inverso
Ninguna clase satisface [2][b]=[1] módulo cuatro.Módulo cinco
2·3=6 tiene resto uno: [3] sí es inverso de [2].
No tiene inverso módulo cuatro; sí módulo cinco.
Módulo cuatro, [2][0]=[2][2]=[0]; cancelar [2] daría una conclusión falsa.
8. Una función sobre clases debe asignar un único valor al bloque entero
La propuesta g([n])=n, con salida en ℤ, falla módulo cuatro: [1]=[5], pero asignaría uno o cinco a la misma entrada. El problema no es elegir un representante para trabajar; es dejar que esa elección altere la salida declarada.
Una función f:A→B se puede transferir al cociente exactamente cuando a∼b implica f(a)=f(b).
Está bien definida por esa constancia, y f=f̄∘π. Además es única: como π llega a toda clase, sus valores quedan todos fijados.
Un valor por bloque
En nuestra partición, f(a)=f(c)=10, f(b)=f(e)=20 y f(d)=30. Construye f̄.
Primera clase
f̄([a])=10; escoger c también da diez.Otras dos
f̄([b])=20; f̄([d])=30.Componer
Por ejemplo f̄(π(e))=f̄([b])=20=f(e).
f̄ asigna 10,20,30 a las tres clases.
Si cambiáramos solo f(c) a once, la constancia del primer bloque fallaría.
Cuadrado entero frente a resto del cuadrado
Módulo cuatro, compara g([n])=n² con h([n])=el resto de n² entre cero y tres.
La primera falla
[1]=[5], pero 1²=1 y 5²=25 como enteros.La segunda conserva la clase
Si n−n′ es múltiplo de cuatro, n²−n′²=(n−n′)(n+n′) también lo es.Mismo resto
h da uno en [1] tanto usando uno como cinco.
g no está bien definida; h sí.
La salida de h es el resto único, no el cuadrado entero de un representante arbitrario.
9. Parecerse o estar cerca puede fallar al encadenar
Es reflexiva porque |x−x|=0≤2 y simétrica porque intercambiar x e y no cambia la distancia. Para transitividad hacen falta tres puntos y dos hipótesis simultáneas.
En el dibujo 0R2 y 2R4, pero 0 no está relacionado con 4. La distancia total vale cuatro, mayor que dos. La desigualdad triangular da como mucho cuatro a partir de esos dos saltos, no el umbral dos que exigiría la conclusión. No podemos llamar clases de equivalencia a los vecindarios solapados de esta relación.
Localizar exactamente la propiedad que falla
Con el umbral ≤2, comprueba el triple 0,2,4.
Primera hipótesis
|0−2|=2≤2.Segunda
|2−4|=2≤2.Conclusión falsa
|0−4|=4>2.
No es transitiva; por tanto no es equivalencia.
Se cumplen ambas hipótesis. Mostrar solo que dos puntos están lejos no habría refutado transitividad.
Cambiar el criterio de agrupación de forma explícita
En [0,3), usa los bloques [0,1),[1,2),[2,3). ¿Es equivalencia estar en el mismo bloque?
Partición
Los intervalos son no vacíos, disjuntos y cubren [0,3).
Regla
Pertenecer al mismo bloque sí define equivalencia.
Comparar con cercanía
0,9 y 1,1 están muy cerca, pero en bloques diferentes.
Sí, para esta nueva relación.
No hemos probado transitividad de la cercanía: hemos declarado otra regla basada en una partición.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Restos módulo tres
Describe las clases de Z para a~b si 3 divide a−b.
Leer la condición
3 divide a−b significa que a y b difieren en 3k, con k entero.
Restos posibles
La división euclídea da a=3q+r, con r=0,1,2, también si a es negativo.Primera clase
[0]={3k:k∈ℤ}={…,−6,−3,0,3,6,…}.Segunda
[1]={3k+1:k∈ℤ}={…,−5,−2,1,4,7,…}.Tercera
[2]={3k+2:k∈ℤ}={…,−4,−1,2,5,8,…}.Clases distintas
Dos restos distintos entre cero y dos difieren en uno o dos, nunca en un múltiplo de tres. Todo entero cae en una clase.
Formar el cociente
ℤ/∼={[0],[1],[2]}.Sus tres elementos son conjuntos; cada uno es infinito.
Z/~={[0],[1],[2]}.
−1−2=−3, múltiplo de tres; por tanto −1∈[2]. Las clases son infinitas, pero el cociente tiene tres elementos.
EJEMPLO RESUELTO 2
Una relación que falla
En R, define x~y si |x−y|<1. ¿Es equivalencia?
Reflexiva
Para todo x real, |x−x|=0<1.Simétrica
|x−y|=|y−x|, así que invertir el orden conserva la condición.
Elegir el triple
Tomamos x=0, y=0,75, z=1,5.Dos hipótesis verdaderas
|0−0,75|=0,75<1 y |0,75−1,5|=0,75<1.Conclusión falsa
|0−1,5|=1,5 no es menor que uno.Resultado
Falla transitividad. Aunque se cumplan las otras dos propiedades, la relación no es equivalencia.
No: falla la transitividad.
La desigualdad triangular solo garantiza distancia de extremos menor que dos en ese planteamiento, no menor que uno.
Los símbolos que hemos usado
- a∼b
- Los elementos a y b están relacionados según la regla declarada.
- [a]
- Clase de a: conjunto de elementos equivalentes a él.
- A/∼
- Conjunto cociente: sus elementos son las clases de equivalencia de A.
- m∣d
- El entero d es un múltiplo del entero m.
- Z/mZ
- Clases de enteros según congruencia módulo un entero positivo m.
- π:A→A/∼
- Proyección que asigna a cada elemento su clase.
- Partición
- Familia de bloques no vacíos, disjuntos dos a dos y cuya unión es el conjunto.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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