EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Distancia entre (0,0) y (3,4).
- PISTA 1
Una pista
Usa la norma de su diferencia.
Un desarrollo posible.
La diferencia de los puntos es el vector (3,4).
Su norma es √(3²+4²)=√(9+16).
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Determinante de una rotación plana.
- PISTA 1
Una pista
Calcula cos²θ+sin²θ.
Un desarrollo posible.
La matriz de una rotación plana es [[cosθ,−senθ],[senθ,cosθ]].
Su determinante es cos²θ−(−sen²θ)=cos²θ+sen²θ.
La identidad trigonométrica da uno para cualquier ángulo.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Norma de la imagen de un vector de norma 7 por una isometría lineal.
- PISTA 1
Una pista
Las matrices ortogonales conservan normas.
Un desarrollo posible.
Una isometría lineal tiene una matriz ortogonal Q, sin término de traslación.
Como las normas son no negativas, ‖Qv‖=‖v‖=7.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba que una matriz ortogonal conserva productos escalares.
- PISTA 1
Una pista
Introduce QᵀQ.
Un desarrollo posible.
Para vectores columna reales, el producto es ⟨Qu,Qv⟩=(Qu)ᵀ(Qv).
La transposición del producto da uᵀQᵀQv.
Usando QᵀQ=I obtenemos uᵀv=⟨u,v⟩, para todos los u,v.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Da una matriz con determinante uno que no sea isometría.
- PISTA 1
Una pista
Escala dos ejes recíprocamente.
Un desarrollo posible.
Tomamos M=diag(2,1/2), de determinante 2·(1/2)=1.
El vector e₁=(1,0) tiene norma uno y su imagen (2,0) tiene norma dos.
No conserva la distancia de e₁ al origen y por tanto no es isometría, aunque conserve áreas.