Deslizar, girar y reflejar una figura puede cambiar su posición sin cambiar sus longitudes. Esos movimientos se llaman isometrías. Empezaremos midiendo segmentos y construyendo una reflexión. Después escribiremos las reglas con matrices, justificaremos por qué abarcan todos los movimientos rígidos del espacio euclídeo y compararemos el orden de dos movimientos.
Si necesitas repasar:
1. Conservar distancias significa conservar cada segmento
En el plano, es el teorema de Pitágoras aplicado al cambio horizontal y vertical.
Una isometría F cumple d(F(P),F(R))=d(P,R) para toda pareja. Conservar solo la distancia al origen no basta. Para vectores no nulos, cosθ=(u·v)/(‖u‖‖v‖); Cauchy–Schwarz asegura que ese cociente está entre −1 y 1 y permite interpretar también los ángulos.
Medir antes y después de mover
P=(−1,2), R=(2,6); traslada por b=(3,−2).
Antes
R−P=(3,4), longitud √(9+16)=5.Mover ambos
P′=(2,0), R′=(5,4).Después
R′−P′=(3,4), longitud cinco otra vez.
La traslación conserva ese segmento porque cancela el mismo cambio en ambos extremos.
El argumento funciona con cualquier pareja, no solo con los dos puntos elegidos.
Conservar radios no basta
Considera F(x,y)=(√(x²+y²),0).
Radios
Cada punto mantiene su distancia al origen.
Dos puntos
P=(1,0) y R=(0,1) distan √2.Sus imágenes
Ambas son (1,0), con distancia cero.
F no es una isometría.
La definición exige todas las distancias entre puntos, no solo las que parten del origen.
2. Una matriz ortogonal conserva productos escalares y longitudes
Al multiplicar, las entradas de QᵀQ son los productos escalares de sus columnas; por eso la condición dice que las columnas tienen longitud uno y son perpendiculares entre sí. Son una base ortonormal.
Así se conservan normas y ángulos.
Recíprocamente, una transformación lineal que conserve todas las normas conserva productos escalares por la identidad 2u·v=‖u+v‖²−‖u‖²−‖v‖², y su matriz es ortogonal.
Comprobar una rotación con sus columnas
Q=[[0,−1],[1,0]].
Columnas
(0,1) y (−1,0) tienen norma uno.
Perpendicularidad
Su producto escalar es cero, así QᵀQ=I.Acción
Q(3,1)=(−1,3); ambas normas al cuadrado son diez.
Q es ortogonal.
La traspuesta devuelve Qᵀ(−1,3)=(3,1).
Un estiramiento no pasa la prueba
M=diag(2,1/2).
Columnas
Sus longitudes son dos y un medio, no uno.
Producto
MᵀM=diag(4,1/4), distinto de I.Testigo
(1,0) pasa de longitud uno a dos.
M no es ortogonal ni conserva distancias.
No basta que sus columnas sean perpendiculares: también deben tener longitud uno.
3. Una parte ortogonal y una traslación dan un movimiento rígido
Tomar norma da exactamente la distancia original. Primero Q puede girar o reflejar respecto al origen y después b mueve toda la figura por igual.
La inversa es F⁻¹(y)=Qᵀ(y−b): primero deshacemos la traslación y después la parte ortogonal. Una traslación con b no nulo no es lineal porque F(0)=b; sí es afín. Confundir ambos tipos de aplicación dificulta encontrar centros y puntos fijos.
Girar y luego trasladar
F(x,y)=(−y+2,x−1).
Partes
Q(x,y)=(−y,x), b=(2,−1).Aplicar
(3,1) gira a (−1,3) y después pasa a (1,2).
Invertir
De (1,2) restamos b para obtener (−1,3); Qᵀ devuelve (3,1).
F es isometría y su inversa deshace los pasos en orden contrario.
La inversa explícita es (u,v)↦(v+1,2−u).
Trasladar un triángulo punto a punto
A=(0,0), B=(2,0), C=(0,1); suma (−1,3).
Imágenes
A′=(−1,3), B′=(1,3), C′=(−1,4).Lados
B′−A′=(2,0), C′−A′=(0,1), C′−B′=(−2,1).Unir
Al mantener el mismo orden de vértices se reconstruye una copia congruente.
Los tres lados mantienen sus longitudes.
No se cambia cada vértice con una traslación distinta: b debe ser el mismo para todos.
4. Toda isometría del espacio completo tiene esa forma afín
Entonces g fija cero, conserva normas y distancias. La identidad 2u·v=‖u‖²+‖v‖²−‖u−v‖² muestra que g conserva todos los productos escalares.
Las imágenes g(eᵢ) de los vectores canónicos tienen productos escalares δᵢⱼ y forman una base ortonormal de ℝⁿ.
No supusimos que F fuera lineal ni biyectiva: ambas conclusiones apropiadas se deducen de esta forma.
Reconstruir una isometría por tres datos en el plano
F(0,0)=(2,−1), F(1,0)=(2,0), F(0,1)=(1,−1).
Traslación
b=(2,−1).Columnas
Restar b da (0,1) y (−1,0), ortonormales.
Regla forzada
Para todo (x,y), F(x,y)=x(0,1)+y(−1,0)+b=(2−y,x−1).
Esos datos determinan la isometría.
Para x=2,y=3, la regla da (−1,1), sin necesidad de conocer imágenes intermedias.
Datos que ninguna isometría puede cumplir
F(0,0)=(0,0), F(1,0)=(1,0), F(0,1)=(1,1).
Distancia inicial
(0,1) está a distancia uno del origen.
Distancia propuesta
Su imagen (1,1) está a √2 de F(0).
Fallo
Ni siquiera preserva esta pareja de puntos.
No existe una isometría con esas tres imágenes.
No se intenta forzar una matriz ortogonal si los datos ya contradicen las distancias.
5. El determinante distingue orientación, pero no certifica rigidez por sí solo
Una isometría puede tener determinante uno, conservando orientación, o menos uno, invirtiéndola. En ambos casos el valor absoluto es uno y se conservan áreas y volúmenes no orientados.
Para una matriz general, tener determinante uno solo conserva volumen; puede estirar unas direcciones y comprimir otras. Una semejanza F(x)=cQx+b multiplica todas las distancias por |c|.
Reflejar cambia la orientación sin cambiar el tamaño
S(x,y)=(x,−y).
Matriz
diag(1,−1) es ortogonal y su determinante es −1.
Triángulo
(0,0),(2,0),(0,1) tiene área orientada uno.
Imagen
(0,0),(2,0),(0,−1) tiene área orientada −1 y área ordinaria uno.
La orientación se invierte y las longitudes permanecen.
La perpendicularidad de los ejes y las normas de sus imágenes se conservan.
Área conservada con forma deformada
M=diag(2,1/2).
Determinante
2·1/2=1.Cuadrado
Un cuadrado unidad pasa a un rectángulo de lados dos y un medio.
Área
Sigue siendo uno, aunque cambien lados y diagonales.
El determinante no sustituye a QᵀQ=I.
La diagonal cambia de √2 a √(17/4), mostrando otra longitud que no se conserva.
6. Para girar alrededor de un centro, lo llevamos primero al origen
La rotación antihoraria de ángulo θ manda (1,0) a (cosθ,senθ) y (0,1) a (−senθ,cosθ). Esas son las columnas: Rθ=[[cosθ,−senθ],[senθ,cosθ]]. Su producto con su traspuesta da I y su determinante es uno.
Alrededor de c, usamos F(x)=c+Rθ(x−c): restar c, girar y volver a sumar c. Si θ no es múltiplo de 2π, el único punto fijo es c, porque una rotación no trivial no fija ningún vector no nulo. Para θ múltiplo de 2π obtenemos la identidad, que fija todos los puntos.
Un cuarto de vuelta fuera del origen
Gira P=(3,2) noventa grados antihorarios alrededor de c=(1,1).
Centrar
P−c=(2,1).Girar
R(2,1)=(−1,2).Volver
c+(−1,2)=(0,3).
La imagen es (0,3).
Ambos puntos están a √5 del centro; el producto escalar de (2,1) y (−1,2) es cero.
Media vuelta y punto fijo
F(x,y)=(4−x,−2−y).
Reconocer
F(z)=2c−z con c=(2,−1).Forma centrada
F(z)=c−(z−c), rotación de π.Fijar
F(z)=z exige z=c; (5,1) pasa a (−1,−3).
Es una media vuelta con centro (2,−1).
El centro es el punto medio entre (5,1) y (−1,−3).
7. Reflejar conserva la parte paralela al espejo y cambia la perpendicular
Sea una recta n·x=c, con n normal unitaria.
La proyección sobre el espejo es x−sn. Para llegar al reflejado recorremos otra vez ese mismo cambio: F(x)=x−2(n·x−c)n.
Un vector tangencial tiene producto cero con n y permanece igual; n pasa a −n. Así Q es ortogonal y su determinante plano es −1. Si el espejo está desplazado, aparece una traslación en la fórmula, aunque el movimiento completo siga siendo una reflexión.
El espejo horizontal del dibujo
Refleja P=(−1,4) en y=1.
Normal
n=(0,1), c=1: la distancia con signo es 4−1=3.Proyección
P−3n=(−1,1).Otro tramo
P−6n=(−1,−2).La regla general es (x,y)↦(x,2−y).
P′=(−1,−2).
Su punto medio con P es (−1,1), en el espejo, y las dos distancias perpendiculares son tres.
Un espejo diagonal
Refleja (4,1) en la recta y=x.
Normal unitaria
n=(1,−1)/√2, c=0.Producto
n·(4,1)=3/√2; dos veces ese valor por n es (3,−3).Restar
(4,1)−(3,−3)=(1,4).
La reflexión intercambia las coordenadas.
El punto medio (5/2,5/2) está en y=x y el segmento imagen tiene pendiente −1, perpendicular al espejo.
8. Los puntos fijos separan los cuatro tipos de movimiento del plano
Si det Q=1 y Q=I, tenemos una traslación, incluida la identidad si b=0. Si det Q=1 y Q≠I, es una rotación: I−Q es invertible y el centro fijo es único.
Si det Q=−1, Q tiene una dirección tangencial con valor propio uno y una normal con valor propio menos uno. La componente normal de b desplaza el eje de reflexión. La componente tangencial lo desliza. Si esta última es cero, hay una recta de puntos fijos y es reflexión; si es no nula, no hay puntos fijos y es reflexión deslizante.
Mismo espejo, pero con un deslizamiento
F(x,y)=(x+3,2−y).
Parte ortogonal
diag(1,−1), orientación invertida.
Normal
2−y indica espejo y=1.Tangencial
x+3 desplaza tres unidades a lo largo del espejo; la ecuación fija x=x+3 es imposible.
Es una reflexión deslizante sin puntos fijos.
Aplicarla dos veces da (x+6,y), una traslación no nula.
Recuperar un centro resolviendo una ecuación
F(x,y)=(−y+2,x−1).
Fijar
x=−y+2 e y=x−1.Resolver
x+y=2 y y=x−1 dan x=3/2,y=1/2.Clasificar
La parte lineal es un cuarto de vuelta, así es rotación alrededor de ese punto.
Centro (3/2,1/2).
Sustituir el centro en F lo deja fijo; no se confunde el vector b=(2,−1) con el centro.
9. El orden de dos movimientos cambia el resultado
Q también actúa sobre la traslación interior c. El producto QR sigue siendo ortogonal, así las composiciones forman de nuevo isometrías. Sus determinantes multiplican los signos de orientación.
Dos reflexiones cuyos ejes se cortan producen una rotación de doble ángulo orientado entre el primer eje y el segundo. Dos espejos paralelos producen una traslación perpendicular de doble separación, con sentido según el orden. Puede verse midiendo el ángulo de una dirección o siguiendo la coordenada normal a los espejos.
Girar y trasladar no conmutan
R(x,y)=(−y,x), T(x,y)=(x+2,y).
Primero T
R(T(0,0))=R(2,0)=(0,2).Primero R
T(R(0,0))=T(0,0)=(2,0).Reglas
R∘T=(−y,x+2), pero T∘R=(2−y,x).
El resultado depende del orden.
Las dos reglas conservan distancias; ser isometrías no obliga a que conmuten.
Dos espejos paralelos y dos que se cortan
Compara reflexiones en y=0 e y=2; después en y=0 e y=x.
Paralelos
Reflejar primero en y=0 y después en y=2 lleva y a −y y luego a 4+y: traslación vertical de cuatro.
Invertir orden
Produce y−4, misma magnitud y sentido opuesto.
Secantes
Primero (x,y)↦(x,−y), después intercambiar coordenadas da (−y,x), giro de π/2.
La separación dos se duplica; el ángulo π/4 también se duplica.
Aplicar las reglas a un punto concreto permite comprobar el sentido y evita perderlo en un dibujo simétrico.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una rotación
Rota (1,0) un ángulo π/2 antihorario.
Fijar centro y sentido
Se gira alrededor del origen y π/2 positivo significa un cuarto de vuelta antihorario.
Construir la regla
Rθ tiene columnas (cosθ,senθ) y (−senθ,cosθ).
Evaluar
cos(π/2)=0 y sen(π/2)=1, de modo que R=[[0,−1],[1,0]].Nueva x
0·1−1·0=0.Nueva y
1·1+0·0=1.La imagen es (0,1).
Comprobar
El semieje positivo horizontal gira al vertical positivo; la norma sigue siendo uno y el determinante es uno.
(0,1).
Las dos normas son uno y la matriz tiene determinante uno. Se conserva longitud y orientación.
EJEMPLO RESUELTO 2
Reflexión
Refleja (2,3) respecto al eje x.
Ubicar el espejo
El eje x es y=0 y su normal unitaria es (0,1).Proyectar
(2,3) está tres unidades por encima. Su proyección perpendicular es (2,0).
Conservar tangencial
La coordenada horizontal queda en dos.
Repetir distancia al otro lado
Tres unidades por debajo del eje dan y=−3; en fórmula (2,3)−6(0,1)=(2,−3).
Reconocer matriz
diag(1,−1) es ortogonal y tiene determinante −1.
Verificar simetría
El medio de ambos puntos está en el eje y el segmento que los une es perpendicular. Reflejar de nuevo devuelve (2,3).
(2,−3).
Ambos puntos distan tres del eje y √13 del origen. Aplicar la misma reflexión otra vez devuelve (2,3).
Los símbolos que hemos usado
- ⟨u,v⟩=uᵀv
- Producto escalar euclídeo de vectores columna reales.
- ‖v‖
- Norma euclídea √⟨v,v⟩.
- d(P,R)
- Distancia euclídea ‖P−R‖ entre dos puntos.
- QᵀQ=I
- Condición de matriz ortogonal: sus columnas forman una base ortonormal.
- F(x)=Qx+b
- Isometría con parte ortogonal Q y vector de traslación b.
- det Q
- Signo de orientación de una matriz ortogonal, necesariamente uno o menos uno.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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