Geometría afín y coordenadas baricéntricas

Si estamos en A y queremos llegar a B, el vector B−A expresa el cambio.

Sumar dos puntos sin fijar una regla no tiene el mismo significado geométrico, porque no hay un origen privilegiado en un espacio afín.

Al elegir un origen O, representamos cada punto P por el vector P−O. Cambiar O cambia esos números, pero no cambia el desplazamiento Q−P. Encadenar dos desplazamientos cumple (R−Q)+(Q−P)=R−P: los puntos intermedios se cancelan.

Dados P₁,…,Pᵣ y pesos λ₁,…,λᵣ de suma uno, definimos su combinación como O+Σλᵢ(Pᵢ−O). Es un punto. Si cambiamos O por O′, la parte vectorial gana (Σλᵢ)(O−O′)=O−O′ y cancela exactamente el cambio del punto inicial. Por eso podemos abreviar ΣλᵢPᵢ.

Si la suma de pesos no es uno, esa cancelación falla. Hay otra construcción útil: una combinación de puntos con pesos que suman cero define un vector independiente del origen. Q−P tiene pesos uno y menos uno: es precisamente el desplazamiento entre los puntos.

El parámetro t mide qué fracción del desplazamiento de A a B hemos realizado. Para t=0 estamos en A, para t=1 en B y para 0<t<1 entre ambos.

Si t<0 avanzamos en sentido contrario desde A; si t>1 pasamos más allá de B. En el segmento interior, la razón AP:PB es t:(1−t). Esa proporción sobre la misma recta tiene sentido afín: no exige que una transformación conserve todas las distancias del plano.

P₀,…,Pₙ son afínmente independientes cuando P₁−P₀,…,Pₙ−P₀ son linealmente independientes. En el plano, tres puntos no alineados dan dos direcciones independientes; en el espacio, cuatro puntos no coplanarios dan tres.

Su envolvente afín contiene todas las combinaciones de suma uno. Con independencia, los pesos de cada punto de esa envolvente son únicos: la diferencia de dos representaciones daría una combinación lineal nula de direcciones independientes. Si hay dependencia, algunos puntos no son representables y otros pueden tener varias representaciones.

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Primero comprobamos que A,B,C no están alineados.

Finalmente verificamos las dos coordenadas y la suma. Permutar el orden de los vértices exige permutar sus pesos; una terna sin orden de referencia queda incompleta.

Con una referencia triangular no degenerada, los pesos no negativos de suma uno describen exactamente el triángulo cerrado. Los tres estrictamente positivos dan su interior. Un peso cero coloca el punto en la recta del lado opuesto; para estar en el segmento de ese lado también necesitamos que los otros dos sean no negativos.

Dos pesos cero dejan un vértice. Si alguno es negativo, el punto está fuera del triángulo cerrado, aunque siga siendo un punto válido del plano. Cada coordenada afín varía linealmente y vale cero sobre el lado opuesto; por eso su signo distingue los dos semiplanos separados por ese lado.

Escribimos [U,V,W] para el área orientada: la mitad de det(V−U,W−U). Intercambiar dos vértices cambia el signo.

Estas identidades se obtienen sustituyendo P−A=β(B−A)+γ(C−A) en los determinantes. Los términos con columnas repetidas se anulan. Los tres numeradores suman el denominador, incluso si P está fuera; allí hay áreas negativas que no podemos reemplazar por valores absolutos.

De ahí se conservan puntos medios y relaciones baricéntricas. Para una recta P+tv, su imagen es F(P)+tMv.

Si Mv no es cero, la imagen es una recta.

Para preservar independencia y tener un cambio de referencia reversible exigimos M invertible. La fórmula de pesos sigue siendo cierta sin invertibilidad, pero sus imágenes pueden dejar de formar una referencia única.

Una matriz invertible M multiplica las áreas orientadas por det M. En los cocientes de áreas de las coordenadas baricéntricas, ese factor se cancela. No se deduce que cada área o longitud sea igual a la original: solo que esas proporciones se conservan.

Si N=(B+C)/2 es el punto medio de un lado, G=(1/3)A+(2/3)N: está a dos tercios de la mediana desde A. Repitiendo con los otros vértices, las tres medianas pasan por el mismo punto. Es una propiedad afín y permanece cierta al inclinar o estirar el triángulo.