La constante tiene módulo tres y su cuadrado es nueve.
Integramos sobre longitud cuatro: ∫₀⁴9dx=36.
La norma L² es √36=6.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Norma L¹ de 2 en [0,3].
PISTA 1
Una pista
Integra el módulo.
Un desarrollo posible.
En L¹ se integra el módulo directamente.
La función constante dos es positiva y el dominio tiene longitud tres.
‖2‖₁=∫₀³2dx=2·3=6.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Exponente conjugado de p=3.
PISTA 1
Una pista
Resuelve 1/3+1/q=1.
Un desarrollo posible.
Los exponentes conjugados cumplen 1/p+1/q=1.
Con p=3, 1/q=1−1/3=2/3.
Invertimos para obtener q=3/2, que es mayor que uno como corresponde.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Explica por qué se identifican funciones iguales casi en todas partes.
PISTA 1
Una pista
Considera una indicatriz de un punto.
Un desarrollo posible.
Respecto de Lebesgue, 1_{0} difiere de cero solo en un conjunto nulo.
Para p finito, la integral de su potencia es cero; su supremo esencial también es cero.
Si se distinguieran esas funciones como vectores, habría un vector no nulo de norma cero. Identificarlas casi en todas partes convierte esa seminorma en una norma verdadera.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Prueba L²⊂L¹ en un espacio de medida finita M.
PISTA 1
Una pista
Usa Hölder con la función 1.
Un desarrollo posible.
Sea μ(X)=M<∞ y f∈L².
La función uno tiene norma L² igual a √M.
Hölder con exponentes dos y dos da ∫|f|≤(∫|f|²)^(1/2)(∫1)^(1/2)=√M‖f‖₂.
El lado derecho es finito, por lo que f∈L¹.
Si M=0 la conclusión es inmediata para la clase cero.