Espacios de funciones integrables y desigualdades fundamentales

Fijamos un espacio de medida. Identificamos f y g si coinciden fuera de un conjunto nulo. Es una relación de equivalencia: cada clase reúne todas las versiones que solo cambian en conjuntos que la medida ignora. Lᵖ usa esas clases como sus vectores.

Esta identificación hace que norma cero corresponda al vector cero. Sin ella, una función no nula en un singleton de longitud cero tendría tamaño cero sin ser la función cero punto a punto. La clase depende de la medida: para conteo, ningún punto tiene masa cero.

Pertenece a Lᵖ si es medible y esa cantidad es finita. En p=1 sumamos directamente alturas absolutas; en p=2, elevar al cuadrado da más peso a las alturas grandes y la raíz devuelve la escala de la función.

No intercambiamos potencia e integral. Cambiar el tamaño del dominio cambia la escala de la norma.

‖f‖∞ es el ínfimo de los M≥0 tales que |f|≤M casi en todas partes. Se llama supremo esencial. Una altura excepcional sobre un conjunto nulo no cambia esta norma; una región de medida positiva sí puede cambiarla.

Si el espacio entero tiene medida cero, todas las funciones medibles representan el vector cero. En espacios de medida positiva, una constante c tiene norma esencial |c|. No confundimos esta definición con el supremo puntual de un representante.

Los exponentes son conjugados. Para p=q=2 obtenemos Cauchy–Schwarz; para p=1,q=∞ usamos la cota esencial de g.

Al integrar, la cota es 1/p+1/q=1; multiplicamos de nuevo por las normas. Si alguna norma es cero, el producto vale cero casi en todas partes.

Esta regla, junto con homogeneidad y norma cero solo en la clase cero, convierte Lᵖ en espacio normado.

Después aplicamos Hölder a |f|·|f+g|^(p−1) y |g|·|f+g|^(p−1). Como (p−1)q=p, obtenemos ‖f+g‖ₚᵖ≤(‖f‖ₚ+‖g‖ₚ)‖f+g‖ₚ^(p−1); dividimos si esa norma no es cero.

En L² definimos ⟨f,g⟩=∫f·conjugado(g)dμ, con la convención lineal en el primer argumento. Cauchy–Schwarz garantiza que el producto es integrable y ‖f‖₂²=⟨f,f⟩. Para funciones reales basta ∫fg.

Dos funciones son ortogonales si su producto interior es cero.

Como en vectores, el residuo queda perpendicular a la dirección elegida y da la mejor aproximación en esa recta.

En p finito, una idea de prueba elige de una sucesión de Cauchy una subsucesión fₙₖ con ‖fₙₖ₊₁−fₙₖ‖ₚ≤2⁻ᵏ. Por Minkowski, las sumas finitas de módulos de diferencias tienen norma ≤Σ2⁻ᵏ. Fatou muestra que la suma H de todos esos módulos pertenece a Lᵖ, así que es finita casi en todas partes.

Fuera de la excepción, la serie de diferencias converge absolutamente y define f. Las colas satisfacen ‖f−fₙₖ‖ₚ≤Σ desde j=k de 2⁻ʲ→0; luego la condición de Cauchy y la desigualdad triangular llevan toda la sucesión a f. Para p=∞ usamos una excepción nula común y la misma suma geométrica controla uniformemente las diferencias fuera de ella.

En L², esta completitud junto con el producto interior lo hace Hilbert.

Si p<q<∞, Hölder aplicado a |f|ᵖ y uno usa exponentes q/p y q/(q−p); después extraemos la raíz p.

Para q=∞, |f|ᵖ≤‖f‖∞ᵖ casi en todas partes e integramos sobre medida M. Si M=0 todo se trata directamente como clase cero. La potencia de M no se omite salvo cuando M=1 o el caso particular la elimina.

Las colas pueden hacer divergir una potencia baja mientras una más alta integra; una singularidad puede hacer divergir la potencia alta mientras la baja integra.

Por eso declaramos siempre dominio y medida antes de comparar normas. El ejemplo debe controlar tanto el origen como infinito: extender por cero una función definida en un tramo deja claro cuál de las dos zonas causa la divergencia.