Medidas producto y teoremas de Fubini y Tonelli

Fijamos dos espacios de medida sigma-finitos (X,Σ,μ) e (Y,T,ν). En Σ⊗T existe una única medida producto que asigna (μ×ν)(A×B)=μ(A)ν(B), con la convención 0·∞=0 para esta regla. Sigma-finito significa que cada espacio se cubre por una lista numerable de conjuntos de medida finita.

La fórmula de rectángulos no dice que para cualquier región podamos multiplicar las medidas de sus proyecciones. Las regiones generales se construyen en la sigma-álgebra generada y se miden con esa extensión. Longitud por longitud da área; otros factores producen otras medidas.

Para x fijo, la sección fₓ es la función y↦f(x,y). La integral interior ∫f(x,y)dν(y) produce un valor que depende de x. Después integramos ese resultado en X con μ. En el otro orden fijamos y primero.

Para funciones medibles respecto de Σ⊗T, todas las secciones son medibles. Que una sección sea integrable es una condición adicional. En espacios completados usamos las formulaciones casi en todas partes de los teoremas; no suponemos automáticamente que cada sección excepcional conserve todas las propiedades.

Si f≥0 es medible en el producto de los espacios sigma-finitos, Tonelli iguala la integral producto y las dos integrales iteradas. Los tres valores pueden ser +∞. No hay que demostrar antes integrabilidad absoluta finita.

El mecanismo empieza por indicatrices de rectángulos, donde vale la regla producto; pasa a funciones simples no negativas y después a aproximaciones crecientes usando convergencia monótona. La ausencia de signos impide que aparezca una resta ∞−∞ al sumar.

Si f es medible y ∫|f|d(μ×ν)<∞, Fubini garantiza que las secciones son integrables para casi todo parámetro y que ambas integrales iteradas coinciden con la integral producto finita. La condición se aplica a |f|, no solo al valor con cancelaciones.

Separamos f⁺ y f⁻ y aplicamos Tonelli a cada una. La finitud de la integral del módulo hace finitas las dos masas y permite restarlas. Para funciones complejas se controlan de la misma manera partes real e imaginaria mediante |f|.

En un rectángulo compacto, una función continua tiene módulo acotado y por tanto integral absoluta finita. En un dominio no acotado o con singularidades, buscamos una comparación integrable que cubra también las colas y la zona problemática.

Si ambos factores son integrables, Fubini autoriza entonces ∫f=(∫u)(∫v). No se usa la fórmula con signos antes de comprobar la finitud necesaria.

Para una región D integramos f·1_D sobre un producto y leemos sus cortes. El dibujo decide límites exteriores e interiores. En D:0≤y≤x≤2, el orden vertical usa x de cero a dos e y de cero a x; el horizontal usa y de cero a dos y x de y a dos.

Si la región no tiene una sola descripción de cortes, podemos dividirla en piezas sin solapamiento de medida positiva. Mantener los límites anteriores mientras solo cambiamos dy dx por dx dy describe en general otra integral o una expresión sin sentido.

Fubini permite un conjunto nulo de parámetros con secciones no integrables. Podemos asignar un valor definido a la integral interior en esos parámetros sin cambiar la integral exterior. La excepción debe ser nula para la medida del parámetro.

Si el integrando no estaba definido en un borde nulo, primero declaramos sus valores allí de forma medible. Eso no modifica su integral producto, pero no permite borrar una región de medida positiva ni ocultar una divergencia del módulo.

Cada sección con coordenada fija positiva tiene integral impropia finita. Sin embargo los dos órdenes producen valores diferentes; no podemos invocar Fubini solo porque las cuentas interiores existan.

La divergencia absoluta se localiza en el origen.

Una suma sobre ℕ es una integral con medida de conteo. Para uₖ(x) medibles no negativas, Tonelli sobre X×ℕ da ∫Σuₖ=Σ∫uₖ, con infinito permitido. Es la misma regla que obtenemos por convergencia monótona de sumas parciales.

Para términos con signos, una condición suficiente es Σ∫|uₖ|<∞. Tonelli comprueba primero integrabilidad absoluta en el producto, y Fubini permite luego intercambiar suma e integral. Esta condición es suficiente; no es una prueba de que cualquier otro caso deba fallar.