Convergencia monótona y convergencia dominada

Trabajamos en un espacio de medida fijo (X,Σ,μ) con integrales de Lebesgue. Convergencia casi en todas partes significa convergencia fuera de un conjunto medible de medida cero. El conjunto excepcional depende de μ, no de cuántos puntos parezcan pocos.

Si hay una excepción nula por cada índice, su unión numerable es nula y sirve como excepción común. No podemos unir arbitrariamente una familia no numerable de excepciones y seguir afirmando que es nula. Medibilidad y existencia del límite se comprueban antes de elegir una regla de integración.

Si 0≤fₙ≤fₙ₊₁ casi en todas partes y fₙ→f, entonces ∫fₙ aumenta hacia ∫f, con +∞ permitido. No pide que la medida total sea finita ni que haya un techo integrable. La no negatividad evita cancelaciones entre infinitos.

Para una simple 0≤s≤f y 0<θ<1, los conjuntos Aₙ={fₙ≥θs} crecen hasta cubrir donde s>0.

Como s tiene finitos niveles, continuidad desde abajo de sus conjuntos da I≥θ∫s. Al acercar θ a uno y tomar supremo sobre s, obtenemos I≥∫f.

Si uₖ≥0 son medibles, S_N=Σ desde k=1 hasta N de uₖ crece hacia Σuₖ. La linealidad finita y convergencia monótona dan ∫Σuₖ=Σ∫uₖ, incluso cuando ambos lados sean ∞.

No necesitamos que los soportes sean disjuntos: la suma de funciones añade alturas allí donde se solapan. Para términos con signo necesitamos otro control que justifique una resta o una reordenación de masas.

El liminf observa el menor comportamiento persistente de las colas. No requiere que fₙ converja, ni garantiza igualdad.

Prueba: hₘ=inf desde n=m de fₙ es medible, no negativa y crece hacia liminf fₙ. Para todo n≥m, hₘ≤fₙ; por tanto ∫hₘ≤inf desde n=m de ∫fₙ. Aplicando monótona a hₘ y pasando m al límite obtenemos la desigualdad.

Si fₙ→f casi en todas partes y |fₙ|≤g para una g medible con ∫g<∞, entonces f y fₙ son integrables, ∫fₙ→∫f y ∫|fₙ−f|→0. El dominador g es único para toda la sucesión; puede variar con x, pero no se sustituye por una cota diferente para cada n.

Este teorema permite signos y oscilaciones. La búsqueda empieza calculando |fₙ| y comparándolo con una función cuya integral podamos controlar tanto cerca de singularidades como en las colas. La convergencia no tiene que ser uniforme.

Para funciones reales, |f|≤g casi en todas partes se obtiene tomando límites. Las funciones g+fₙ y g−fₙ son no negativas. Fatou aplicado a ambas da dos desigualdades: una impide que las integrales se queden por debajo de ∫f y la otra que se queden por encima.

La finitud de ∫g permite restar sin indeterminaciones.

Aplicamos después el mismo resultado a |fₙ−f|, que tiende a cero y está dominada por 2g; concluimos convergencia L¹. Para funciones complejas tratamos partes real e imaginaria y usamos el mismo control de módulo.

También podemos aplicar monótona a f₁−fₙ, que crece, y restar de la cantidad finita ∫f₁. En ambos argumentos aparece el mismo dato de finitud.

Más generalmente, una sucesión creciente con un minorante integrable común se trata restando ese minorante antes de aplicar monótona. La idea no es ignorar los signos, sino transformar la situación en una no negativa con operaciones bien definidas.

Los picos n·1_(0,1/n) tienen altura creciente y anchura decreciente: conservan área uno mientras cada punto termina viendo cero. El control que falta está cerca del origen. Los traslados 1_[n,n+1] conservan altura y anchura: el control que falta está en la cola del dominio.

En ambos casos, si existiera un dominador integrable común, convergencia dominada obligaría a que las integrales tendieran a cero. La cuenta de áreas uno lo contradice. No es suficiente acotar cada fₙ por separado ni encontrar un techo de integral infinita.

Primero encontramos el límite y declaramos la medida. Si hay crecimiento no negativo, usamos monótona; si buscamos una cota sin más control, Fatou puede dar una desigualdad; si hay signos u oscilaciones con un techo integrable común, usamos dominada.

Fallar al encontrar un dominador no prueba que no exista. Que no se cumpla un criterio suficiente tampoco prueba que el intercambio falle. Podemos calcular directamente, probar convergencia L¹ o buscar otro argumento. La conclusión debe indicar si la integral es finita, extendida infinita o indefinida.