Funciones medibles e integral de Lebesgue

Fijamos (X,Σ,μ). Una función real f es medible si {x∈X:f(x)>a} pertenece a Σ para cada real a. Preguntamos en qué parte del dominio la función supera una altura. Equivale a pedir preimágenes medibles de todos los borelianos de ℝ.

Continuidad implica medibilidad cuando usamos los borelianos del dominio o una sigma-álgebra que los contiene. La recíproca no es cierta. Sumas, productos y límites puntuales de funciones medibles siguen siendo medibles cuando las operaciones están definidas; con valores infinitos evitamos indeterminaciones.

La indicatriz 1_A vale uno en A y cero fuera. Es medible exactamente cuando A es medible.

Con longitud, la contribución se parece a un área: altura por anchura. Con conteo, sumamos un valor por cada punto. Con Dirac, solo observamos la altura en el punto donde está la masa. La medida elegida forma parte del cálculo.

Simple significa que la función solo toma finitos valores, aunque el dominio tenga infinitos puntos.

Elegir los conjuntos donde toma cada valor evita solapamientos.

La representación no altera el resultado: si partimos un nivel en piezas disjuntas, la aditividad de μ conserva la contribución. Si usamos una suma de indicatrices solapadas, primero calculamos qué altura total recibe cada punto o justificamos la linealidad no negativa.

Para f medible y f≥0, ∫f es el supremo de ∫s entre todas las simples con 0≤s≤f. Puede ser un número finito o +∞. Es una definición mediante aproximaciones inferiores, no mediante cancelación.

Podemos elegir sₘ redondeando f hacia abajo en múltiplos de 2⁻ᵐ y truncando en altura m: sₘ=min(m,2⁻ᵐ⌊2ᵐf⌋), interpretando sₘ=m donde f=∞. Toma finitos valores, es medible, crece con m y tiende a f. La integral de f se recupera con estas aproximaciones; la convergencia monótona formalizará el paso de sus integrales al límite.

Ambas partes son no negativas y tienen integrales extendidas bien definidas. Llamamos integrable a f cuando ∫|f|<∞, lo que hace finitas ambas partes.

Si solo una parte tiene integral infinita, la integral extendida tiene el signo correspondiente, pero no hay integrabilidad finita. Si ambas son infinitas, ∞−∞ no define una integral de Lebesgue. Una simetría o un límite de cancelación elegido aparte no resuelve esa indeterminación.

Las hipótesis evitan distribuir expresiones que contienen una resta de infinitos.

Para verlo, Aₖ={f>1/k} tiene medida cero, pues ∫f≥μ(Aₖ)/k. La unión numerable de los Aₖ es {f>0} y sigue siendo nula. No concluimos necesariamente que f valga cero en cada punto.

Dos funciones medibles que coinciden fuera de un conjunto nulo tienen las mismas integrales cuando están definidas. En un espacio completo, modificar una función arbitrariamente sobre un conjunto nulo preserva medibilidad. Sin completitud debemos comprobar que la modificación sigue siendo medible.

Un singleton es nulo para longitud, pero tiene medida uno para conteo y para Dirac en ese punto. Casi en todas partes siempre se refiere a una medida concreta; no significa pocos puntos en un sentido informal.

Toda función acotada integrable de Riemann en [a,b] es integrable de Lebesgue y ambas integrales coinciden. Podemos seguir usando primitivas con sus hipótesis habituales. La nueva construcción amplía el conjunto de funciones que se pueden integrar.

Para 1 de ℚ en [0,1], todo subintervalo de longitud positiva contiene racionales e irracionales. Las sumas inferiores de Riemann son cero y las superiores uno; no hay integral de Riemann. Lebesgue mide el conjunto donde vale uno: es numerable y nulo.

Para una función no negativa, la integral extendida siempre está definida, pero puede ser infinita. Cerca de un punto problemático estudiamos la masa acumulada con cortes. La longitud finita del dominio no sustituye el control de la altura.

En (0,1), la regla general para x⁻ᵅ es integral finita cuando α<1, con valor 1/(1−α), y divergencia cuando α≥1. Se obtiene integrando desde ε hasta uno y haciendo ε↓0.