EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
E[3X+2] si EX=4.
- PISTA 1
Una pista
Usa linealidad.
Un desarrollo posible.
La esperanza es lineal y la constante dos tiene esperanza dos.
- E[3X+2]=3EX+2.
- Con EX=4 se obtiene 12+2=14.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Var(2X−5) si Var X=3.
- PISTA 1
Una pista
La traslación no altera dispersión.
Un desarrollo posible.
Restar cinco desplaza tanto X como su media y no cambia la variable centrada.
Multiplicar por dos multiplica el cuadrado centrado por cuatro.
- Var(2X−5)=4Var(X)=4·3=12.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Varianza de Bernoulli(1/2).
- PISTA 1
Una pista
Usa p(1−p).
Un desarrollo posible.
La fórmula de Bernoulli es p(1−p).
- Sustituimos p=1/2.
- La varianza es (1/2)(1/2)=1/4.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Da variables no independientes con covarianza cero.
- PISTA 1
Una pista
Usa X simétrica en [−1,1] e Y=X².
Un desarrollo posible.
- Elegimos X uniforme en [−1,1] e Y=X².
Por simetría EX=0 y E[X³]=0; todos los momentos son finitos.
- Cov(X,Y)=E[X³]−EX·E[X²]=0.
No son independientes: A={|X|≤1/2} y B={Y≤1/4} son el mismo suceso y tienen probabilidad 1/2. Su intersección vale 1/2 y no el producto 1/4.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Deriva la fórmula de Var(X+Y).
- PISTA 1
Una pista
Expande el cuadrado centrado.
Un desarrollo posible.
Con segundos momentos finitos, centramos la suma como (X−EX)+(Y−EY).
Su cuadrado es (X−EX)²+(Y−EY)²+2(X−EX)(Y−EY).
Al tomar esperanzas se obtiene Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y). La independencia solo se necesita si se desea anular el último término.