Varianza de la media de 25 iid de varianza 9.
Divide por n.
Para veinticinco iid, la varianza de la suma es 25·9.
La media divide esa suma por veinticinco y su varianza por 25².
Cota de Chebyshev con σ²=1,n=100,ε=0,5.
Usa σ²/(nε²).
Chebyshev usa σ²/(nε²).
Límite casi seguro de la frecuencia de caras de monedas iid con p=0,4.
Aplica la ley fuerte.
Representamos cada resultado de cara por un indicador Bernoulli con esperanza p=0,4.
Los indicadores son iid e integrables porque están acotados.
La ley fuerte hace converger casi seguramente su media, la frecuencia de caras, a0,4.
Prueba que convergencia en L² implica en probabilidad.
Aplica Markov al cuadrado del error.
Aplicamos Markov a la variable no negativa |X_n−X|².
Si hay convergencia en L², el numerador tiende a cero y se verifica convergencia en probabilidad.
¿Convergencia en distribución determina cómo están acopladas las variables?
Compara distribuciones idénticas con dependencia distinta.
Convergencia en distribución solo controla las leyes de cada variable.
Tomemos X justo en ±1 y X_n=−X para todos los índices. Las leyes son idénticas, así convergen en distribución a la ley de X.
Sin embargo la distancia a X es siempre dos. Las leyes marginales no determinan el acoplamiento ni convergencia en probabilidad a esa X concreta.