Modos de convergencia y leyes de los grandes números

Xₙ→X casi seguramente significa que existe un suceso de probabilidad uno donde, para cada ω, la sucesión numérica Xₙ(ω) tiende a X(ω). Las variables están en un mismo espacio para poder comparar sus valores resultado por resultado.

La tolerancia ε se fija y después se busca un índice N que puede depender de ω y ε. No hace falta un único N que sirva simultáneamente para todos los resultados. «Casi» permite una excepción nula, que puede no ser vacía.

Los resultados que incumplen la tolerancia pueden cambiar con n. No se exige que cada resultado deje de fallar definitivamente.

El orden de cuantificadores importa: primero se fija ε, después n crece. Sustituirla por una tolerancia εₙ que también disminuye plantea otra pregunta y requiere estudiar una nueva probabilidad.

Casi segura también implica en probabilidad: los indicadores de error mayor que ε tienden a cero casi seguramente y están dominados por 1; convergencia dominada hace tender a cero sus esperanzas. Esas implicaciones no permiten invertir libremente las flechas.

Xₙ converge en distribución a X si Fₙ(x)→Fx(x) en cada punto donde Fx es continua. No necesita un espacio común. Los saltos cargan fronteras y por eso no se exige convergencia de las acumuladas allí.

Convergencia en probabilidad implica en distribución: para δ>0, se acota Fₙ(x) entre Fx(x−δ) menos la probabilidad de error y Fx(x+δ) más ese error.

Si el límite es constante, la convergencia en distribución sí implica en probabilidad hacia esa constante.

Cada resultado U>0 queda finalmente fuera del pico, así Xₙ→0 casi seguramente. La probabilidad de estar en él es 1/n, pero su altura es n.

El dibujo conserva el área igual a uno: frecuencia y magnitud del error se compensan. Por eso converger casi seguramente y en probabilidad no garantiza convergencia en L¹. Tampoco L¹ garantiza L².

La sucesión de máquina de escribir recorre [0,1) por bloques: primero los dos indicadores de mitades, después los cuatro de cuartos, luego ocho de octavos, y así sucesivamente. Cada fila vale uno en su tramo y cero fuera.

En el bloque m, el tramo tiene longitud 2^(−m). Toda trayectoria ve exactamente un uno en cada bloque y también ceros. Aun así, cada fila tiene una probabilidad pequeña de valer uno. Es la diferencia entre medir una fila y seguir una columna a lo largo de toda la historia.

Para X₁, X₂,… iid con media μ y varianza finita σ², la media tiene esperanza μ y varianza σ²/n. Independencia anula covarianzas; y dividir la suma por n divide su varianza por n².

Para ε fijo la cota tiende a cero: ley débil y convergencia en L². Una cota puede ser conservadora y no es la probabilidad exacta de un error.

Si X₁, X₂,… son iid y E|X₁|<∞, la ley fuerte afirma que su media converge casi seguramente a EX₁. El resultado sigue siendo válido con varianza infinita. Las próximas dos secciones muestran un camino de prueba con truncación.

No se convierte una cota 1/n en un resultado casi seguro solo cambiando palabras. La serie Σ1/n diverge, y ese control aislado no permite aplicar directamente el primer lema de Borel–Cantelli. Hay que controlar mejor las trayectorias o truncar los valores grandes.

El primer lema de Borel–Cantelli dice: si ΣP(An)<∞, la probabilidad de que ocurran infinitos An es cero. Se prueba acotando P(⋃n≥N An) por la cola de la serie y dejando N→∞; no necesita independencia.

Para variables independientes centradas Zk de varianza finita, la desigualdad maximal de Kolmogorov acota P(max k≤n |Sₖ|≥a) por ΣVar(Zk)/a². Permitirá controlar toda una cola de sumas, además de un instante. El lema de Kronecker convertirá después una serie ponderada convergente en una media pequeña.

La independencia se conserva porque cada Yₙ depende solo de Xₙ, aunque ya no tengan idéntica distribución. Controlamos por separado los valores recortados, la serie centrada y el promedio de sus esperanzas.

La igualdad de distribución original permite reemplazar cada estimación por una integral respecto a una misma ley X.

El detalle clave es que sus varianzas son sumables aunque Var(X) sea infinita.

La frecuencia puede acercarse al límite con oscilaciones y rachas. Independencia significa que un desequilibrio pasado no obliga al siguiente ensayo a compensarlo. La ley fuerte habla del límite casi seguro; no ofrece por sí sola un N universal de acierto seguro para todo resultado.

En un cálculo finito se declara qué garantía probabilística se usa, como Chebyshev bajo varianza finita. Si las observaciones repiten siempre la misma variable, no se puede usar una fórmula iid para la dispersión de su media.