mcd que decide 8x+12y=4.
Calcula Euclides.
Ese divisor común divide el segundo miembro cuatro.
El mcd que decide la ecuación es cuatro y la ecuación es compatible; por ejemplo x=−1,y=1 da cuatro.
Valor de [1;2] como fracción.
Es 1+1/2.
La notación [1;2] significa 1+1/2.
Ponemos ambos sumandos con denominador dos: 2/2+1/2=3/2.
La fracción reducida es 3/2, equivalente a 1,5.
Halla el menor entero positivo x tal que 3x+5y=1 para algún entero y.
Usa x=2+5t.
El menor valor se obtiene con t=0 y es x=2; el y correspondiente es −1, permitido porque solo se exige entero.
Refuta soluciones enteras de x²+y²=3.
Estudia cuadrados módulo cuatro.
Un entero par tiene cuadrado cero módulo cuatro y uno impar tiene cuadrado uno.
Las posibles sumas de dos cuadrados son 0+0,0+1,1+1, con restos cero,uno,dos.
Tres no aparece. Si existiera una solución entera, su reducción módulo cuatro sería una contradicción.
Deriva la familia de soluciones de ax+by=c a partir de una solución.
Resta la solución conocida y divide por el mcd.
Para a,b no ambos cero, sea d=mcd(a,b)>0 y supongamos una solución (x₀,y₀).
Si b=0, a≠0 fija x=x₀ y permite cualquier y; como a/d=±1, la misma fórmula recorre todos los enteros y.
Al sustituir la familia general, los incrementos se cancelan. Se demuestra así necesidad y suficiencia, incluyendo el caso de un coeficiente nulo.