Ecuaciones diofánticas y aproximación racional

Diofántica significa que buscamos soluciones enteras: x,y,… pertenecen a ℤ. No basta despejar y obtener una recta real. Necesitamos los puntos de esa recta que caen en la retícula de coordenadas enteras. Según el contexto, el enunciado puede pedir además que sean positivos o no negativos.

Una aproximación racional plantea otra relación: p/q, con p entero y q entero positivo, puede acercarse a un número sin ser igual a él. Siempre distinguiremos la identidad exacta del error que queda. Ambas preguntas usan enteros, pero no piden lo mismo.

Para ax+by=c, con a,b no ambos cero, sea d=mcd(a,b)>0. Toda combinación ax+by es múltiplo de d. Por tanto d debe dividir c. Esta condición es también suficiente: Bézout da au+bv=d; si c=dk, al multiplicar obtenemos a(ku)+b(kv)=c.

Euclides extendido construye u,v, no solo decide existencia. Si a=b=0, se trata aparte: 0=c permite cualquier pareja entera si c=0 y ninguna si c es distinto de cero. Si un coeficiente es cero, solo hay que comprobar divisibilidad por el otro.

Si (x₀,y₀) es una solución, todas son x=x₀+(b/d)t, y=y₀−(a/d)t, con t entero. Al sustituir, los términos añadidos se cancelan. Esa comprobación prueba que toda pareja de la fórmula sirve; falta probar que ninguna queda fuera.

Resta la ecuación de una solución cualquiera y la particular: (a/d)(x−x₀)=−(b/d)(y−y₀). Como a/d y b/d son coprimos, b/d divide x−x₀; llamamos t al cociente y deducimos la otra coordenada. Este argumento usa ambos coeficientes no nulos. Si uno es cero, describimos directamente la variable fijada y la variable libre.

Si x,y deben ser no negativos, sustituimos la familia y resolvemos las dos desigualdades para t. Después intersectamos los intervalos y conservamos solo los enteros. Si al dividir usamos un coeficiente negativo, cambiamos el sentido de la desigualdad.

No negativo incluye cero; positivo lo excluye. Conviene escribir cuál de las dos condiciones pide el contexto antes de contar soluciones. Un intervalo real que no contiene enteros da cero soluciones enteras, aunque tenga longitud positiva.

Si una ecuación entera es cierta, sigue siendo cierta al reducirla módulo cualquier entero positivo. Para descartar soluciones basta encontrar un módulo donde sea imposible. Para afirmar existencia, superar un único filtro normalmente no basta.

Por ejemplo, cualquier cuadrado deja cero o uno módulo cuatro: si x=2k, x² es múltiplo de cuatro; si x=2k+1, x²=4k(k+1)+1. Así una suma de dos cuadrados solo puede dejar cero, uno o dos módulo cuatro.

Si el resto es cero, termina.

La notación [a₀;a₁,a₂,…] significa a₀+1/(a₁+1/(a₂+…)). Los coeficientes después del primero son enteros positivos.

Con un racional, cada paso reproduce una división de Euclides y acaba cuando el resto se hace cero. Si acabara para un irracional, la expresión finita daría un racional, contradicción. La convención usual para una expresión finita de longitud mayor que uno exige último coeficiente mayor que uno; así se evita la doble escritura que termina en uno.

El convergente pₙ/qₙ es la fracción continua truncada en aₙ.

Son las dos mismas operaciones en numerador y denominador.

La identidad pₙqₙ₋₁−pₙ₋₁qₙ=(-1)^(n+1) se prueba con la recurrencia: cada determinante es el opuesto del anterior y el inicial vale −1. Si un entero dividiera pₙ y qₙ, dividiría ese ±1; por tanto cada convergente está reducido. Dos consecutivos distan exactamente 1/(qₙqₙ₋₁).

Para α irracional, conserva la cola completa αₙ₊₁ que queda después del convergente: α=(pₙαₙ₊₁+pₙ₋₁)/(qₙαₙ₊₁+qₙ₋₁). Restar pₙ/qₙ y usar el determinante da un error absoluto exacto de 1/[qₙ(qₙαₙ₊₁+qₙ₋₁)].

En una fracción continua simple, los denominadores son positivos y no decrecen, aunque los dos primeros pueden coincidir. El signo antes de tomar valor absoluto es (-1)^n: los índices pares quedan por debajo y los impares por encima.

Dirichlet: para cada entero Q≥1 y real α existen enteros p,q con 1≤q≤Q y |α−p/q|<1/(qQ). Prueba: coloca las Q+1 partes fraccionarias de 0,α,…,Qα en Q intervalos semiabiertos de longitud 1/Q.

Divide por q. Si α es racional puede haber una igualdad exacta.

Para α irracional, al crecer Q estos denominadores no pueden quedar acotados: habría solo finitas fracciones cercanas de denominador acotado y un error positivo mínimo entre ellas. Dirichlet fuerza errores cada vez menores. Así obtenemos infinitas aproximaciones con error menor que 1/q².

La ecuación de Pell x²−Dy²=1, con D entero positivo no cuadrado, está relacionada con aproximar √D. Pero no todo convergente resuelve esa ecuación: hay que sustituir. Aquí veremos la conexión y una familia para D=3; una clasificación completa de Pell requiere desarrollar más su teoría.