EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Número de residuos cuadráticos no nulos módulo 13.
- PISTA 1
Una pista
Usa (p−1)/2.
Un desarrollo posible.
Trece es primo impar, por lo que sus doce clases no nulas se agrupan en parejas opuestas.
Cada pareja produce un cuadrado y parejas distintas producen cuadrados distintos.
Hay (13−1)/2=6 residuos cuadráticos no nulos.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Valor del símbolo (−1/5).
- PISTA 1
Una pista
5 es 1 módulo 4.
Un desarrollo posible.
Aplicamos el suplemento (−1/p)=(−1)^((p−1)/2) con p=5.
El exponente es dos y (−1)²=1.
El símbolo vale uno; de hecho 2²=4≡−1 módulo cinco.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Valor de (2/7).
- PISTA 1
Una pista
7≡−1 mod 8.
Un desarrollo posible.
El suplemento de dos distingue p módulo ocho. Aquí siete pertenece a la clase siete.
Equivalentemente (7²−1)/8=48/8=6 es par, así el signo es positivo.
Por tanto (2/7)=1; 3²≡2 lo comprueba.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba que un cuadrado no nulo módulo p impar tiene exactamente dos raíces.
- PISTA 1
Una pista
Factoriza x²−a si conoces una raíz r.
Un desarrollo posible.
Sea a≠0 cuadrado módulo el primo impar p y r una raíz.
Entonces r≠0.
Si x es cualquier otra raíz, x²−r²=(x−r)(x+r)≡0.
En el cuerpo F_p se concluye x≡r o−r.
Las dos clases r y−r son distintas porque 2r≠0. Ambas sirven y no existe otra raíz.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Calcula (3/7) usando reciprocidad.
- PISTA 1
Una pista
Ambos primos son 3 módulo 4.
Un desarrollo posible.
Tres y siete son primos impares distintos y ambos son tres módulo cuatro; reciprocidad introduce signo menos.
(3/7)=−(7/3)=−(1/3), después de reducir siete módulo tres.
Uno es un cuadrado no nulo módulo tres, así el resultado es −1. Tres no es cuadrado módulo siete.