Número de componentes de R∖{0}.
Separa positivos y negativos.
R∖{0} es la unión de los intervalos negativos y positivos.
Ambos son conexos, disjuntos y abiertos relativos; un conjunto que toque ambos se separa por esas intersecciones.
Son las dos componentes y su número es dos.
Número de componentes de un espacio discreto de cuatro puntos.
Cada singleton es abierto y cerrado.
En un espacio discreto, cualquier subconjunto de al menos dos puntos puede separarse usando un singleton y su complemento relativo.
Los singletons son conexos porque no admiten dos partes no vacías.
Cada uno de los cuatro puntos forma una componente: hay cuatro.
Número de componentes de [0,1].
Es un intervalo.
[0,1] es un intervalo real y por tanto es conexo.
También se puede unir cualquier par mediante su segmento, que permanece dentro.
Todo el espacio es su única componente; el número es uno.
Prueba que imagen continua de conexo es conexa.
Supón una separación de la imagen y toma preimágenes.
Las preimágenes f⁻¹(U),f⁻¹(V) son abiertas, disjuntas y cubren X.
Ambas son no vacías porque U,V contienen valores de la imagen. Serían una separación de X, contradicción.
Construye un camino entre dos puntos de un conjunto convexo.
Usa una combinación convexa.