Conexión y conexión por caminos

Una separación de X consiste en U,V abiertos de X, disjuntos, no vacíos y con U∪V=X. X es conexo cuando no existe tal separación. Las cuatro condiciones importan: dos abiertos separados que no cubren X no demuestran desconexión.

En una separación cada parte también es cerrada relativa, porque su complemento es la otra parte abierta. Por eso X es conexo si y solo si sus únicos subconjuntos abiertos y cerrados a la vez son ∅ y X. Encontrar un cerrado propio no basta: debe ser también abierto relativo.

Si A⊂ℝ contiene a<c pero omite algún b entre ellos, A∩(−∞,b) y A∩(b,∞) forman una separación. Así todo conexo real debe contener todos los números entre cada pareja: debe ser un intervalo, incluyendo los casos de un solo punto o vacío según la convención usual.

Para la dirección contraria, supón un intervalo I separado en U,V. Elige a∈U,b∈V con a<b, intercambiando nombres si hace falta.

Por aproximación al supremo y porque U es cerrado relativo, s pertenece a U. No puede ser b, que está en V. Como U es abierto relativo y s<b, contiene puntos de [a,b] un poco mayores que s, contradicción.

La prueba usa la existencia del supremo en ℝ y el hecho de que [a,b] está dentro del intervalo. Es la razón formal detrás de la imagen de un recorrido sin cortes; no depende de que el intervalo tenga sus extremos incluidos.

Si f(X) tuviera una separación, sus preimágenes por una f continua serían abiertas en X, disjuntas y no vacías, porque cada parte contiene algún valor alcanzado. Además cubrirían X. Eso contradice la conexión de X.

La conclusión es sobre f(X). Para afirmar que todo el codominio Y es conexo necesitamos que f sea sobreyectiva. Como los conexos de ℝ son intervalos, obtenemos el valor intermedio: una función real continua en un intervalo alcanza todos los valores entre dos de sus salidas.

Si una familia de conexos comparte un punto p, su unión es conexa. En una supuesta separación, p queda en una parte y cada conexo debe permanecer entero en esa misma parte, porque la toca. La otra parte quedaría vacía.

La clausura de un conexo A también es conexa. Si cl A se separase, A quedaría entero en una parte por conexión; la otra parte sería un abierto relativo no vacío de cl A que no toca A, contradiciendo que A es denso en su clausura.

Sin punto común, una unión de conexos puede ser desconexa.

Puede repetir puntos, pararse o cruzarse. No se le exige derivada ni longitud mínima. Su imagen es conexa por continuidad desde un intervalo.

La relación de poder unir dos puntos por un camino es reflexiva con el camino constante, simétrica con γ(1−t) y transitiva por concatenación. Para pegar dos caminos usamos el primero en la mitad inicial y el segundo en la final. Las dos fórmulas coinciden en t=1/2 porque el final y el inicio son el mismo punto.

Si X fuera conexo por caminos y tuviera separación U,V, elige a∈U,b∈V. La imagen de un camino entre ellos es conexa y toca ambas partes; sus intersecciones con U,V la separarían. Contradicción.

También puede fijarse a y unirlo con cada otro punto. Las imágenes de los caminos son conexas y comparten a; su unión es X. El recíproco no es general: una ausencia de separación abierta no construye automáticamente una trayectoria.

En un convexo C, el segmento γ(t)=(1−t)a+tb queda dentro por definición. Es continuo y tiene los extremos pedidos. Así un convexo no vacío es conexo por caminos. Es una condición suficiente, no necesaria.

En ℝ² sin el origen, el segmento puede fallar, pero podemos usar dos tramos pasando por un punto c cuya dirección no sea opuesta a la de a ni a la de b. Solo hay dos direcciones prohibidas: podemos elegir otra. Ninguno de los dos segmentos atravesará el origen.

En ℝ sin el origen, en cambio, positivos y negativos forman una separación.

G es imagen continua de un intervalo y es conexa por caminos.

Para cada y∈[−1,1], elige una fase θ con senθ=y; las entradas xₙ=1/(θ+2πn), para n grande, tienden a cero y sus salidas valen y. Así aparece todo el segmento L.

No aparecen otros puntos límite: las salidas están entre −1 y uno, y donde x>0 la función sigue siendo continua. Como S es clausura de un conexo, S es conexo.

Supón un camino desde L a G. Su coordenada horizontal x(t) es continua y no negativa. El conjunto de instantes donde vale cero es cerrado y tiene un último instante t₀<1.

En cualquier intervalo temporal pequeño a la derecha de t₀, la coordenada x alcanza un valor positivo. Por el valor intermedio toma todos los valores suficientemente pequeños entre cero y ese valor, incluidos algunos que fuerzan sen(1/x)=1 y otros que fuerzan −1. Por tanto la coordenada vertical toma ambos valores arbitrariamente cerca de t₀.

No puede ser continua allí. Ese camino no existe.

La componente de x es la unión de todos los subconjuntos conexos que contienen x. Es conexa porque todos comparten x y es maximal por construcción. Si dos componentes se tocan, su unión es conexa y deben coincidir: las componentes particionan X.

Una componente es cerrada: su clausura sigue siendo conexa y la maximalidad impide que sea mayor. Las componentes por caminos también particionan, pero solo garantizamos que estén contenidas en componentes conexas. Pueden ser más pequeñas y no ser cerradas.

Sea Ω abierto de ℝⁿ. Cada punto tiene una bola pequeña dentro y esa bola es convexa, luego conexa por caminos. Si x está en una componente por caminos P, todos los puntos de esa bola también están en P: se concatena el camino hasta x con el segmento dentro de la bola.

Por tanto P es abierta.

Las otras componentes por caminos también son abiertas, así el complemento de P es abierto y P es cerrada relativa. Una componente conexa no puede tocar P y su complemento. Como P es conexa, queda probado que coincide con la componente conexa. Fuera de este contexto local, las componentes no tienen por qué ser abiertas.