Grado de t↦e^(6πit), t∈[0,1].
Compara con e^(2πint).
Los lazos estándar son t↦e^(2πint) para n entero.
El exponente 6πit equivale a 2πi·3t.
Su levantamiento empieza en cero y termina en tres; el grado es tres.
Grado de un lazo constante en el círculo.
No da ninguna vuelta.
Un lazo constante admite un levantamiento angular constante.
El ángulo final coincide con el inicial y no se acumula ninguna vuelta.
El grado es cero y representa el neutro.
Orden del grupo fundamental de R².
El plano es convexo.
R² es convexo y cualquier lazo se contrae hacia su punto base por segmentos.
Todas las clases coinciden con la del lazo constante.
El grupo es trivial y tiene un elemento.
Prueba que un espacio convexo es simplemente conexo.
Contrae lazos hacia su punto base.
Un convexo no vacío es conexo por caminos mediante γ(t)=(1−t)a+tb.
Para un lazo basado en x₀, H(s,t)=(1−s)γ(t)+sx₀ permanece en el conjunto por convexidad.
La homotopía es continua, fija los extremos y contrae todo lazo. Con conexión por caminos, esto demuestra simple conexión.
Explica por qué deformar un círculo en sí mismo no permite contraer una vuelta.
Usa invariancia del grado por homotopía.
Una vuelta del círculo tiene grado uno y un lazo constante tiene grado cero.
El levantamiento de una homotopía basada conserva el entero final del ángulo, así el grado es invariante.
Los dos grados no coinciden y no puede existir tal contracción dentro del círculo. Si se permite atravesar el disco, cambia el espacio y el argumento ya no describe el mismo problema.