Calcula (1,2,3)·(4,−1,2).
Suma productos.
Emparejamos las tres componentes: 1·4+2·(−1)+3·2.
El resultado es el escalar 8, no el vector de productos individuales.
Halla k para que (2,1) y (k,−6) sean perpendiculares.
Impón producto cero.
Sumamos seis a ambos miembros y dividimos entre dos: queda 2k=6 y k=3.
Con k=3, ambos vectores son no nulos y el producto 6−6=0 confirma perpendicularidad.
Calcula u·u para u=(3,4).
Es el módulo al cuadrado.
El producto de un vector por sí mismo suma cuadrados de sus componentes.
Coincide con ||u||²=5², una comprobación independiente de su carácter no negativo.
Halla cos θ entre (1,0,0) y (1,1,0).
Divide producto por módulos.
El producto entre (1,0,0) y (1,1,0) vale 1.
Sus módulos son 1 y √2, por lo que cos θ=1/(1·√2)=1/√2.
El cociente está entre cero y uno y corresponde a un ángulo agudo, coherente con las direcciones.
Proyección escalar de (3,4) sobre (1,0).
La dirección ya es unitaria.
La proyección es 3; el vector proyectado, si se pidiera, sería (3,0), una respuesta de otro tipo.