Sumar dos vectores da otro vector. El producto escalar hace algo distinto: combina dos flechas y devuelve un número que permite estudiar ángulos y cuánto avanza una en la dirección de la otra. Calcularemos sus piezas una a una y las conectaremos con un triángulo y una proyección.
1. Multiplicamos componentes correspondientes y sumamos los productos
En el espacio añadimos u_zv_z. El punto · nombra esta operación entre vectores; el resultado es un escalar real, no una nueva lista de componentes.
Primero hacemos los productos y después la suma. Los signos de las componentes se conservan y conviene escribir paréntesis al multiplicar negativos.
Dos productos con signo
Calcula (−2; 3) · (4; −1).
Componente x
(−2) · 4 = −8.Componente y
3 · (−1) = −3.Sumamos
−8 + (−3) = −11.
El escalar es −11.
No se entrega (−8; −3): eso sería una lista de productos, no su suma.
También cuenta la tercera componente
Calcula (1; 2; −1) · (3; 0; 4).
Productos
1 · 3 = 3; 2 · 0 = 0; (−1) · 4 = −4.Suma
3 + 0 − 4.
Resultado
−1.
−1.
Omitir z produciría otro cálculo.
2. La distributiva conecta el producto con sumas y con el módulo
Un factor real puede sacarse del producto: (λu) · v = λ(u · v).
Esta relación da un número no negativo y solo se anula para el vector cero. No confundimos u · u con el módulo: para obtener el módulo tomamos la raíz no negativa.
Producto de un vector consigo mismo
u = (−3; 4). Halla u · u y ‖u‖.
Producto
(−3)² + 4² = 9 + 16 = 25.Relación
u · u es el cuadrado del módulo.
Raíz
‖u‖ = 5.
u · u = 25; ‖u‖ = 5.
La raíz no se añade al producto escalar de dos vectores cualesquiera.
Comprobar la distributiva
u = (1; 2), v = (3; 0), w = (−1; 1).
Suma interior
v + w = (2; 1); u · (v + w) = 2 + 2 = 4.Productos separados
u · v = 3; u · w = −1 + 2 = 1.Suma final
3 + 1 = 4.
Ambas rutas dan cuatro.
La propiedad permite reorganizar sin cambiar el tipo de resultado.
3. El ángulo aparece al comparar el mismo triángulo de dos maneras
Para vectores no nulos, el triángulo formado por u, v y u − v cumple la ley de cosenos: ‖u − v‖² = ‖u‖² + ‖v‖² − 2‖u‖‖v‖ cos θ. Al expandir por producto escalar, el mismo lado es ‖u‖² + ‖v‖² − 2u · v.
Por tanto cos θ = (u · v)/(‖u‖‖v‖), y usamos arccos para el ángulo entre cero y 180°, o entre cero y π radianes. El denominador exige que ambos vectores sean no nulos.
Piezas separadas para un ángulo sencillo
Halla el ángulo entre (1; 0) y (1; √3).
Producto
Uno.
Módulos
Uno y √(1 + 3) = 2.Coseno
1/(1 · 2) = 1/2.Ángulo
60° o π/3 rad.
60°.
El segundo vector está en el primer cuadrante y tiene pendiente √3.
Sentido opuesto
Halla el ángulo entre (2; 0) y (−3; 0).
Producto
−6.
Módulos
Dos y tres.
Coseno
−6/6 = −1.Ángulo
180° o π rad.
180°.
Los dos vectores comparten dirección geométrica y tienen sentidos contrarios.
4. El signo distingue ángulo agudo, recto y obtuso si las flechas no son nulas
Como el producto de módulos es positivo, el signo de u · v es el signo de cos θ. Si es positivo, el ángulo está entre cero y 90° sin llegar a 90°; si cero, es recto. Si es negativo, supera 90°: es obtuso antes de llegar a 180° y llano si vale exactamente 180°.
El ángulo cero corresponde a vectores del mismo sentido.
El vector cero tiene producto cero con todos. Se considera ortogonal algebraicamente, pero no tiene un ángulo geométrico definido. Por eso no calculamos un ángulo de 90° con una flecha de longitud cero ni dividimos entre su módulo.
Comprobar perpendicularidad sin arccos
u = (1; 2), v = (4; −2).
Producto
1 · 4 + 2 · (−2) = 4 − 4 = 0.Vectores no nulos
Sus módulos son positivos.
Ángulo
Coseno cero: 90°.
Son perpendiculares.
La condición del producto sirve sin redondear ningún ángulo.
La excepción del vector cero
u = (0; 0), v = (1; 2). ¿Se puede obtener un ángulo con la fórmula?
Producto
Cero.
Denominador
‖u‖‖v‖ = 0.Lectura
No hay dirección de u que permita fijar un ángulo.
El ángulo no está definido.
Producto cero no autoriza aquí a informar noventa grados.
5. La proyección escalar mide una componente con signo
Por la fórmula del ángulo también vale ‖u‖ cos θ.
Puede ser negativa: indica avance en sentido opuesto al de v. Su valor absoluto es la longitud de la parte proyectada. No llamamos longitud negativa al escalar con signo.
Una componente positiva
Proyecta escalarmente u = (3; 2) sobre v = (2; 0).
Producto
u · v = 6.Módulo de la dirección
‖v‖ = 2.Cociente
6/2 = 3.
Componente escalar tres.
Cambiar v a (1; 0) conserva el mismo sentido unitario y la misma componente.
Una componente negativa
Proyecta escalarmente u = (−2; 3) sobre e = (1; 0).
Dirección unitaria
‖e‖ = 1.Producto
−2 · 1 + 3 · 0 = −2.Interpretación
Dos unidades en sentido opuesto al eje positivo.
Escalar −2; longitud proyectada dos.
El signo describe sentido, no una distancia negativa.
6. La proyección vectorial recupera una flecha paralela y deja un resto perpendicular
Para convertir la componente en vector multiplicamos por el unitario de la dirección: proy_v(u) = [(u · v)/(v · v)]v, para v ≠ 0. El resultado es paralelo a v. El coeficiente puede ser negativo y entonces la flecha apunta en sentido contrario.
El resto u − proy_v(u) es perpendicular a v: su producto con v vale u · v − [(u · v)/(v · v)](v · v) = 0. Así descomponemos u en parte paralela y parte perpendicular sin inventar una dirección nueva.
Sobre el eje horizontal
Halla la proyección vectorial de (3; 2) sobre (1; 0).
Coeficiente
Producto tres dividido entre v · v = 1: tres.Multiplicamos por v
3(1; 0) = (3; 0).Resto
(3; 2) − (3; 0) = (0; 2).
Proyección (3; 0), resto (0; 2).
El resto tiene producto cero con (1; 0).
Sobre una dirección inclinada
Proyecta u = (3; 1) sobre v = (1; 1).
Producto y denominador
u · v = 4; v · v = 2.Proyección
(4/2)(1; 1) = (2; 2).Resto
(1; −1).
Comprobamos
(1; −1) · (1; 1) = 0.
Proyección (2; 2); resto (1; −1).
Las dos flechas suman de nuevo (3; 1).
7. Las condiciones geométricas se convierten en ecuaciones de producto cero
Si una recta tiene normal n ≠ 0, los desplazamientos entre sus puntos son perpendiculares a n.
Esa condición traduce el dibujo a una ecuación en coordenadas.
El producto escalar también calcula trabajo de una fuerza constante en un modelo: W = F · d. Solo contribuye la parte de la fuerza en la dirección del desplazamiento. Son aplicaciones de la misma operación, con unidades que corresponden a las magnitudes del problema.
De una normal a una recta
La recta pasa por A = (1; 2) y tiene normal n = (2; −1). Halla su ecuación.
Desplazamiento genérico
P − A = (x − 1; y − 2).Producto cero
2(x − 1) − (y − 2) = 0.Simplificamos
2x − y = 0.
y = 2x.
A satisface la ecuación y el director (1; 2) tiene producto cero con n.
Trabajo con signo
En un modelo, F = (5; 0) N es constante y d = (−2; 3) m. Calcula W.
Producto
5(−2) + 0 · 3 = −10.Unidades
N · m = J.Interpretación
La componente del desplazamiento va en sentido opuesto a la fuerza.
W = −10 J.
El desplazamiento vertical no aporta trabajo de una fuerza totalmente horizontal.
8. Comprobamos tipo, dominio y unidades antes de interpretar
El producto escalar devuelve un número; la proyección escalar otro número con signo; la proyección vectorial una flecha. Para ángulos exigimos ambos vectores no nulos; para proyectar, la dirección de proyección no puede ser cero.
El cociente del coseno debe quedar entre −1 y 1. Si queda fuera por mucho, hay un error de producto, módulos o redondeo. Conservar raíces exactas hasta el final evita errores innecesarios. En una base no ortonormal necesitamos tener en cuenta sus productos de base, no aplicar ciegamente la suma usual de componentes.
Un coseno imposible
Alguien obtiene 1,4 al dividir un producto por los módulos.
Límite
Un coseno real no supera uno.
Conclusión
La cuenta no puede aceptarse como ángulo.
Revisión
Producto con signos, cuadrados y raíces de ambos módulos.
Hay que revisar las operaciones.
No se introduce 1,4 en arccos como si fuera un valor válido.
Distinguir tres resultados
Para u = (−2; 3) y v = (2; 0), calcula producto, componente escalar y proyección vectorial.
Producto
−4.
Escalar proyectado
−4/2 = −2.Vector proyectado
(−4/4)(2; 0) = (−2; 0).
Producto −4; escalar −2; vector (−2; 0).
Solo la tercera respuesta es una flecha; el módulo de esa flecha es dos.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Perpendicularidad
Comprueba u=(2,3) y v=(3,−2).
Producto
(2; 3) · (3; −2) = 6 − 6 = 0.No nulos
Ambos tienen módulo √13.
Ángulo
cos θ = 0/(√13 · √13) = 0.Resultado
θ = 90° o π/2 rad.
Ángulo de 90°.
La fórmula del coseno da cos θ=0.
EJEMPLO RESUELTO 2
Ángulo
Halla el ángulo entre (1,0) y (1,1).
Producto
(1; 0) · (1; 1) = 1.Módulos
Uno y √2.
Coseno
1/√2 = √2/2.Ángulo
45° o π/4 rad.
Comprobación geométrica
(1; 1) es la diagonal del primer cuadrante con componentes iguales.
45° o π/4 rad.
El vector (1,1) forma la diagonal del primer cuadrante.
Los símbolos que hemos usado
- u·v
- Producto escalar, número real obtenido al sumar productos de componentes correspondientes.
- ||u||
- Módulo euclídeo de u.
- θ
- Ángulo no orientado entre dos vectores no nulos, en [0,π].
- u·v=||u||||v||cos θ
- Relación geométrica del producto escalar.
- s=(u·v)/||v||
- Proyección escalar de u sobre la dirección orientada por v≠0.
- projᵥu
- Vector proyectado: [(u·v)/(v·v)]v.
- Ortogonales
- Vectores de producto escalar cero; con ambos no nulos forman 90°.
- w=u−projᵥu
- Componente residual perpendicular a v.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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