Numeración romana, binaria, octal y hexadecimal

En 505 hay cinco centenas, ninguna decena y cinco unidades: 5·100+0·10+5·1. El cero mantiene libre la casilla de las decenas. Si lo quitamos, 55 representa otra cantidad.

En una base entera b≥2, las posiciones desde la derecha valen 1, b, b², b³… Cada paso hacia la izquierda multiplica el peso por b. Una cifra debe ser un entero entre 0 y b−1; al reunir b unidades de una posición formamos una de la siguiente.

Binario usa 0 y 1; octal, del 0 al 7; decimal, del 0 al 9. En hexadecimal hacen falta dieciséis símbolos: 0,…,9 y A, B, C, D, E, F, que valen 10,…,15.

Antes de convertir comprobamos las cifras. Una escritura como 102 en base dos no es válida: no existe la cifra 2 en ese sistema. Aquí trabajamos con enteros no negativos; para fracciones posicionales aparecerían pesos b⁻¹, b⁻²… a la derecha del separador.

Escribimos los pesos debajo de las cifras, empezando en uno por la derecha. Multiplicamos cifra por peso y sumamos las contribuciones. En binario el cero aporta cero y el uno aporta el peso completo.

La misma cuenta puede hacerse de izquierda a derecha: empezar por la primera cifra, multiplicar el acumulado por la base y añadir la siguiente. Es el método de Horner y proporciona otra forma de revisar el orden de las cifras.

El resto r es la cifra de las unidades porque todo lo que está en posiciones superiores es múltiplo de b. Repetimos el proceso con q.

Los restos aparecen desde la derecha hacia la izquierda; por eso se escriben en orden inverso. Paramos al llegar a cociente cero. El número cero tiene escritura 0: no se presenta como una lista vacía de cifras.

Como 8=2³, un grupo de tres cifras binarias tiene un valor entre cero y siete. Como 16=2⁴, cuatro bits tienen un valor entre cero y quince. Agrupamos desde la derecha para respetar las unidades.

Podemos completar con ceros a la izquierda sin cambiar el valor. Los ceros interiores sí mantienen posiciones: al convertir una cifra octal a binario se usan tres bits por cifra salvo los ceros iniciales que luego puedan omitirse.

Usaremos la convención escolar moderna de los números del 1 al 3999: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000. Los símbolos llevan su propio valor, en lugar de cambiar por casillas de unidades y decenas.

I, X, C y M se repiten como máximo tres veces seguidas en esta convención; V, L y D no se repiten. La notación histórica tiene variantes: IIII en relojes no es la escritura escolar IV. Esta convención no proporciona símbolos ordinarios para cero o fracciones.

Las parejas permitidas son IV, IX, XL, XC, CD y CM: uno antes de cinco o diez; diez antes de cincuenta o cien; cien antes de quinientos o mil. Se leen como 4, 9, 40, 90, 400 y 900.

Para escribir un número lo separamos en millares, centenas, decenas y unidades, escribimos cada bloque y los juntamos en ese orden. No sirve restar cualquier símbolo pequeño situado antes de uno grande: IL no es la forma escolar de 49.

Una cadena puede sugerir un valor sin ser una representación válida. Revisamos primero las reglas de sus símbolos y después calculamos. Para una conversión posicional, volver al sistema inicial permite descubrir cifras invertidas o ceros perdidos.

La fórmula general reúne los pesos. El índice j de identifica una posición; no es el número escrito como subíndice de base. No es necesario memorizar esa fórmula antes de entender las casillas.