En un anillo local hay tres medidas que conviene calcular por separado: dimensión, número de direcciones de primer orden y profundidad. Las compararemos con ejemplos de una recta, números duales y curvas singulares. La clave será mirar qué elementos anulan a otros y repetir esa pregunta después de imponer cada ecuación.
Si necesitas repasar:
1. Primero se fijan el anillo local y las tres medidas
Trabajamos con un anillo local noetheriano R no nulo, maximal m y cuerpo residual κ=R/m. Su dimensión de Krull cuenta cadenas de primos. Su dimensión de inmersión, edim R, es la dimensión vectorial de m/m² sobre κ. La profundidad se definirá mediante no divisores de cero sucesivos.
En este marco se cumple profundidad≤dimensión≤edim. Son cotas teóricas. Calcularemos cada cantidad para saber qué igualdad se alcanza: regularidad compara dimensión con edim; Cohen–Macaulay compara profundidad con dimensión.
Un cuerpo proporciona el punto de partida
R=k.
Local
Su único maximal es cero y el residuo es k.
Dimensiones
Su único primo es cero: dim R=0.Además m/m²=0, así que edim R=0.Profundidad
No hay un elemento del maximal que inicie una sucesión regular no vacía. La longitud máxima es cero.
Las tres medidas son cero.
Ser de dimensión cero no equivale a ser el anillo cero; k tiene 1≠0.
La recta local da las tres medidas iguales a uno
R=k[x]_(x).
Primos
La cadena (0)⊊(x) da dimensión uno y no hay otra inclusión posible.
Primer orden
m=(x), y la clase de x da una base de m/m².Su dimensión es uno.
Multiplicación
x no anula ningún elemento no nulo porque R es dominio. Da profundidad al menos uno; la cota por dimensión la hace exactamente uno.
La recta local será regular y Cohen–Macaulay.
Cada uno de los tres unos se obtuvo por una comprobación distinta.
2. m/m² conserva generadores de primer orden y elimina sus productos
Por ello la acción de R sobre ese cociente depende solo del residuo en κ: es un espacio vectorial.
Una lista que genera m da una lista que genera m/m². A la inversa, si las clases generan m/m², el lema de Nakayama permite levantar la generación a m porque m es finitamente generado. Su dimensión vectorial es exactamente el mínimo número de generadores de m.
Una relación cuadrática no elimina una dirección lineal
A=k[ε]/(ε²).
Maximal
m=(ε), con ε no nulo.Cuadrado
m²=0, así que m/m²=m tiene base ε sobre k.Conclusión
edim A=1, aunque dim A=0.La relación cuadrática elimina productos, no la clase de primer orden.
Una dirección infinitesimal puede sobrevivir sin aumentar la dimensión de Krull.
No se interpreta ε²=0 como ε=0.
Dos generadores de primer orden pueden coexistir con dimensión uno
B=k[x, y]_(x, y)/(x², xy).
Maximal
m está generado por las clases de x e y.
Relaciones
Las relaciones impuestas tienen grado dos. No producen una combinación lineal no trivial de x e y módulo m².
Base
Sus dos clases son independientes y generan m/m².
Por tanto edim B=2.Más adelante veremos que dim B=1.
Contar variables no basta para conocer la dimensión de Krull.
Los denominadores permitidos tienen constante no nula y no crean relaciones lineales nuevas.
3. Regular significa que el maximal usa el mínimo número permitido por la dimensión
Un anillo local noetheriano es regular cuando edim R=dim R. Una lista mínima de generadores del maximal es entonces un sistema regular de parámetros. La cota dimensión≤edim explica por qué esa igualdad es una condición de minimalidad.
Los anillos locales regulares son dominios; en dimensión uno son anillos de valoración discreta. Son teoremas estructurales que aquí enunciamos. Ser dominio no basta para ser regular, como mostrará la cúspide.
Un cuerpo es regular aunque no tenga parámetros no vacíos
R=k.
Maximal
m=0 admite la lista vacía de generadores.Comparación
dim R=0 y edim R=0.Definición
La igualdad prueba regularidad. No se necesita una variable para cumplirla.
Los cuerpos son anillos locales regulares de dimensión cero.
La lista vacía corresponde a longitud cero, no a un generador adicional.
Un dominio local puede ser singular
C=k[t², t³]_(t², t³).
Dimensión
k[t] es integral y finito sobre k[t², t³]; el anillo de la curva tiene dimensión uno y la localización en el origen también.
Primer orden
Con u=t², v=t³, la presentación es k[u, v]/(v²−u³).La relación no tiene término lineal, de modo que u, v dan dos direcciones en m/m².
Comparar
edim C=2>1=dim C.Es dominio, por estar dentro de k(t), pero no es regular.
El dominio no evita una dirección tangente sobrante.
La presentación y la dimensión local justifican las dos cantidades; no se deducen de la apariencia del dibujo.
4. Una sucesión regular se comprueba después de cada cociente
x₁,…, x_r dentro de m es una sucesión regular si multiplicar por x_i es inyectivo en R/(x₁,…, x_i₋₁) para cada i. Estar en m garantiza que no se fuerza el cociente final a ser el anillo cero.
No basta comprobar que cada elemento es no divisor de cero en R. Una ecuación anterior puede convertir el siguiente en cero. Hay que escribir el cociente en cada paso y revisar allí la multiplicación.
Dos elementos buenos por separado pueden fallar juntos
En k[x]_(x), tomar x y x².
Antes
Ambos son no divisores de cero en el dominio original.
Primer cociente
Al dividir por x queda k.
Segundo elemento
La clase de x² es cero en k. Multiplicarla por uno da cero con uno no nulo. No es inyectiva.
(x, x²) no es una sucesión regular.
La primera comprobación era correcta; la segunda debía hacerse en otro anillo.
Dos variables independientes sí pueden imponerse sucesivamente
R=k[x, y]_(x, y), sucesión x, y.
Primero
R es dominio, por tanto x es no divisor de cero.
Después
R/(x)≅k[y]_(y), también un dominio, donde y no es cero.
Final
Dividir además por y da k, no el anillo cero. La pareja cumple todas las condiciones.
x, y es una sucesión regular de longitud dos.
Las dos comprobaciones se hicieron en los anillos adecuados.
5. La profundidad mide cuántas ecuaciones regulares caben seguidas
La profundidad es la máxima longitud de una sucesión regular dentro del maximal. La sucesión vacía tiene longitud cero y siempre se permite para un anillo no nulo. Si todo elemento del maximal es divisor de cero, no puede empezarse una sucesión no vacía y la profundidad es cero.
Tener nilpotentes no determina por sí solo la profundidad: puede haber otra dirección que no anule elementos. Hay que comprobar la multiplicación, no solo detectar que alguna potencia es cero.
En los números duales no puede darse el primer paso
A=k[ε]/(ε²).
Elementos del maximal
Todo elemento de m es aε.
Anular
Cada aε multiplicado por ε da cero, y ε no es cero.
Profundidad
Todos son divisores de cero, incluido cero.
No hay sucesión no vacía: depth A=0.
La nilpotencia afecta aquí a todo el maximal.
No se permite usar una unidad como primer parámetro dentro de m.
Un nilpotente puede coexistir con profundidad positiva
D=k[ε, y]_(ε, y)/(ε²).
Forma
Antes de localizar, sus elementos se escriben a(y)+b(y)ε.
Multiplicar por y
Si y(a+bε)=0, ambos coeficientes ya eran cero; esta inyectividad se conserva al localizar.
Dimensión
El radical es (ε) y la curva reducida es la recta en y: dim D=1.Así y da profundidad uno, a pesar de ε²=0.
D tiene profundidad uno y es Cohen–Macaulay.
Se usó un no divisor de cero distinto de la dirección nilpotente.
6. Cohen–Macaulay y regular son igualdades diferentes
Todo anillo local regular es Cohen–Macaulay: un sistema regular de parámetros es una sucesión regular. La recíproca no vale.
Todo anillo local artiniano no nulo tiene dimensión y profundidad cero; por tanto es Cohen–Macaulay. Puede conservar un maximal nilpotente no nulo y una dimensión cotangente positiva, lo que impide la regularidad.
Comparar los números duales con un cuerpo
A=k[ε]/(ε²), frente a k.
Coincidencia
Ambos tienen dimensión cero y profundidad cero: son Cohen–Macaulay.
Diferencia
En A, edim=1 por la clase ε; en k, edim=0.Regularidad
Solo el cuerpo satisface dimensión igual a edim en esta pareja.
La condición Cohen–Macaulay admite este espesor nilpotente.
La regularidad lo detecta porque compara otra cantidad.
La cúspide es Cohen–Macaulay sin ser regular
C=k[t², t³]_(t², t³).
Dominio
Multiplicar por t² es inyectivo, ya que C es un dominio y t²≠0.Profundidad
t² pertenece al maximal y da profundidad al menos uno. Como la dimensión es uno, la profundidad es exactamente uno.
Comparar
Es Cohen–Macaulay, pero la dimensión cotangente dos impide regularidad.
También puede fallar la recíproca en un dominio sin nilpotentes.
El ejemplo no se basa en que todos los anillos de dimensión uno sean Cohen–Macaulay.
7. Dividir por una ecuación regular conserva Cohen–Macaulay, pero puede perder regularidad
Si R es local noetheriano Cohen–Macaulay y x₁,…, x_r es una sucesión regular en m, su cociente es Cohen–Macaulay y su dimensión baja en r. Es un teorema estructural; la condición de sucesión regular no se reemplaza por que las ecuaciones parezcan distintas.
Partiendo de un anillo regular, una ecuación dentro de m² puede dejar demasiadas direcciones de primer orden. En cambio una ecuación lineal independiente elimina una de ellas. Los dos cocientes siguientes muestran esa diferencia.
Una ecuación cuadrática elimina dimensión sin eliminar la dirección lineal
R=k[x]_(x), dividir por x².
Regular como elemento
x² es no divisor de cero en el dominio R.
Cociente
R/(x²)≅k[ε]/(ε²), de dimensión cero y profundidad cero.
Primer orden
La clase de x sobrevive en m/m² y deja edim=1.El cociente es Cohen–Macaulay y no regular.
Una ecuación regular no obliga a un cociente regular.
Se distingue elemento regular de anillo regular.
Una ecuación lineal puede conservar regularidad
R=k[x, y]_(x, y), dividir por x.
No divisor de cero
R es dominio y x no es cero.
Cociente
R/(x)≅k[y]_(y).
Medidas
Dimensión, profundidad y edim del cociente valen uno. Es regular y Cohen–Macaulay.
Aquí la ecuación elimina una dimensión y una dirección de primer orden.
La comparación con x² muestra qué dato cambiaba.
8. Un solo elemento anulado por todo el maximal puede reducir la profundidad a cero
Su radical de relaciones es (x), por lo que tiene dimensión uno, como k[y]_(y). La clase de x sigue siendo no nula: antes de localizar, solo sus múltiplos por elementos de (x, y) la anulan; ningún denominador permitido pertenece a ese maximal.
Tanto x como y anulan esa clase. Cualquier elemento del maximal es combinación de ambos y también la anula. Por tanto cada elemento del maximal es divisor de cero y la profundidad es cero. No alcanza la dimensión uno: B no es Cohen–Macaulay.
Comprobar que no puede empezar ninguna sucesión regular
a∈m_B.
Escritura
a=ux+vy para ciertos u, v de B.Multiplicar
a·x=u x²+v xy=0 por las relaciones.Test no trivial
La clase de x es no nula. Por eso a no actúa inyectivamente, cualquiera que sea.
La profundidad es cero por una razón común a todos los candidatos.
No bastaba comprobar solo los dos generadores x e y por separado.
Comparar B con una recta engrosada distinta
B y D=k[ε, y]_(ε, y)/(ε²).
En D
La variable y no es divisor de cero y permite profundidad uno.
En B
Además de x²=0 se ha impuesto xy=0.Esa relación hace que y también anule a x.
Consecuencia
Ambos tienen dimensión uno y nilpotentes, pero solo D es Cohen–Macaulay. La relación adicional explica el defecto.
Las ecuaciones precisas deciden la profundidad.
No se clasifica un anillo solo por tener un nilpotente.
9. Una curva con dos ramas también puede tener una ecuación regular útil
En N=k[x, y]_(x, y)/(xy), el producto xy es cero y tanto x como y son divisores de cero. Sin embargo x+y no lo es. Si (x+y)f es múltiplo de xy en k[x, y], reducir módulo x obliga a que x divida f; reducir módulo y obliga a que y divida f.
Entonces xy divide f.
La inyectividad se conserva al localizar. N tiene dimensión uno y edim dos, por lo que x+y demuestra que es Cohen–Macaulay aunque sea singular. Este ejemplo enseña a buscar combinaciones, en vez de descartar el anillo al fallar sus primeros generadores.
Ver por qué cada generador individual falla
Las clases de x e y en N.
Producto
x·y=0.No nulidad
Ni x ni y pertenece al ideal (xy), y siguen sin ser cero al localizar en el origen.
Conclusión
Los dos son divisores de cero. Ninguno sirve como primer elemento regular.
La lista de generadores del maximal no tiene por qué ser una sucesión regular.
La propiedad Cohen–Macaulay pide existencia de una sucesión adecuada.
La combinación x+y sí produce un parámetro regular
Dividir N por x+y.
Inyectividad
La prueba por divisibilidad anterior muestra que x+y no anula una clase no nula.
Sustituir
La nueva relación da y=−x.Entonces xy=0 se convierte en x²=0.Resultado
El cociente es k[x]_(x)/(x²), de dimensión cero. Se ha impuesto una ecuación regular y se alcanza toda la dimensión uno.
x+y es un parámetro regular aunque x e y por separado fallen.
El cálculo también funciona en característica dos: la relación sigue dando x²=0.
10. La interpretación tangente exige distinguir regularidad intrínseca y suavidad relativa
El dual de m/m² sobre κ es el espacio tangente intrínseco del anillo local. Una dimensión cotangente mayor que la dimensión local detecta falta de regularidad. La suavidad de un álgebra sobre un cuerpo considera además cómo se comporta esa estructura respecto del cuerpo base.
Sobre cuerpos perfectos, en el marco de álgebras de tipo finito, regularidad y suavidad se relacionan como indica el criterio habitual. Sobre un cuerpo imperfecto no se identifican automáticamente. El ejemplo puramente inseparable siguiente muestra el motivo.
Un cuerpo extensión siempre es regular como anillo
k=F_p(t), K=k(α) con αᵖ=t.
Extensión
t no es una potencia p-ésima en F_p(t), por lo que K es una extensión puramente inseparable de grado p.
Anillo local
K es un cuerpo; su maximal es cero y dim K=edim K=0.Regularidad
Es regular y Cohen–Macaulay como anillo, independientemente de la relación inseparable con k.
La estructura interna de K no detecta toda su relación con la base k.
p es primo y t es una variable, condiciones que fijan el ejemplo.
Cambiar la base revela la falta de suavidad
Ampliar la base de k a K en el ejemplo anterior.
Tensor
K⊗_k K≅K[T]/(Tᵖ−t).
En K se tiene t=αᵖ.Característica p
Tᵖ−αᵖ=(T−α)ᵖ.Con ε=T−α el cociente es K[ε]/(εᵖ), con nilpotentes no nulos.Lectura
No es geométricamente reducido y, por tanto, K no es suave sobre k. Esto no contradice que K fuera un anillo regular.
Para suavidad se revisa también el cuerpo base.
El espacio cotangente interno m/m² de K no se identifica con el módulo de diferenciales relativo Ω_K/k.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una recta regular
Estudia R=k[x]_(x).
Anillo local
En R=k[x]_(x), el único maximal es m=(x).Dimensión
Los primos son (0) y (x), con una inclusión estricta: dim R=1.
Cotangente
m/m² tiene base la clase de x sobre k; edim R=1.Regularidad
edim R=dim R prueba que el anillo es regular.
Profundidad
x no es divisor de cero en el dominio R y R/(x)=k.Hay una sucesión regular de longitud uno; la cota por dimensión impide más.
Conclusión
Profundidad, dimensión y edim son uno. R es regular y Cohen–Macaulay.
R es regular y Cohen–Macaulay de dimensión 1.
Dimensión, dimensión cotangente y profundidad valen 1.
EJEMPLO RESUELTO 2
Cohen–Macaulay sin regularidad
Estudia A=k[ε]/(ε²).
Clases
Todo elemento de A es a+bε, con ε no nulo y ε²=0.Unidades
Si a≠0 hay inversa a⁻¹−ba⁻²ε.El único maximal es m=(ε).Dimensión
Todo primo contiene ε y A/(ε)=k; solo existe ese primo.
Dim A=0.Profundidad
Cada elemento de m anula a ε no nulo, así que no puede empezar una sucesión regular. Profundidad cero.
Cohen–Macaulay
Profundidad igual a dimensión: A es Cohen–Macaulay.
No regular
m²=0 y m tiene dimensión vectorial uno.Edim A=1>0=dim A, por lo que no es regular.
A es Cohen–Macaulay, pero no regular.
Profundidad=dimensión=0; dimensión cotangente=1.
Los símbolos que hemos usado
- (R,m,k)
- Anillo local noetheriano no nulo, con maximal m y cuerpo residual k=R/m.
- dim R
- Dimensión de Krull, medida por cadenas de primos.
- m/m²
- Espacio cotangente sobre k, que conserva la parte lineal del maximal.
- edim R
- Dimensión de m/m² sobre k, igual al mínimo número de generadores de m.
- No divisor de cero
- Elemento cuya multiplicación define una aplicación inyectiva R→R.
- x₁,…,x_r regular
- Cada xᵢ no es divisor de cero en R/(x₁,…,x_(i−1)) y el cociente final no es cero.
- depth R
- Máxima longitud de una sucesión regular dentro de m, en este marco noetheriano local.
- Cohen–Macaulay
- Anillo local noetheriano con depth R=dim R.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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