Análisis topológico de datos

Un grafo contiene vértices y aristas. Un complejo simplicial puede contener además triángulos rellenos, tetraedros y símplices superiores, siempre con todas sus caras. Un contorno cerrado puede ser ciclo del grafo sin representar un agujero del complejo.

La métrica, el ruido y la escala elegida influyen en la construcción. La homología describe el objeto construido bajo esas decisiones, no una figura única certificada por los puntos sin más información.

Fijamos r≥0 como distancia máxima entre pares. Vietoris–Rips incluye un conjunto de vértices como símplex si todas sus distancias son ≤r. Dos dan arista; tres dan cara triangular si cumplen las tres parejas; cuatro dan un tetraedro abstracto si cumplen las seis.

Algunos textos usan 2r o radios de bolas: cambiar convención cambia los números de nacimiento. Aquí r es distancia máxima y las igualdades se incluyen. Un complejo abstracto puede tener dimensión mayor que el espacio donde se midieron los puntos.

Si todas las distancias de un símplex son ≤r, también son ≤s para s≥r. Por eso . Se añaden símplices; no se borran. Una clase puede morir porque una cara nueva la convierte en frontera.

Una nube finita tiene finitos umbrales de cambio, pero puede producir muchísimos símplices. Truncar dimensión ahorra cálculo y también puede impedir detectar fronteras necesarias. Para calcular hacen falta los símplices de dimensión k+1 que correspondan.

Una cadena suma símplices. El borde de AB es A+B y el de ABC es AB+AC+BC. Al aplicar borde dos veces, cada contribución se repite y se cancela: ∂²=0.

Sobre otros cuerpos se introducen orientaciones y signos coherentes. La identidad sigue diciendo que toda frontera es un ciclo. Esa inclusión es la que permite formar después un espacio cociente.

Definimos .

Los elementos del núcleo son ciclos; la imagen son fronteras de símplices y cadenas superiores. El cociente identifica ciclos que difieren por una frontera. El número de Betti es su dimensión.

Con símplices de dimensión k, . Usamos homología no reducida: b₀ cuenta componentes. No basta contar todos los ciclos del grafo ignorando las caras.

Las inclusiones de complejos inducen aplicaciones entre sus homologías. Sobre un cuerpo y para esta filtración finita, la persistencia se describe mediante intervalos. Una barra [b,d) nace en b y deja de estar viva en d; su longitud es d−b.

Una clase que sigue al final puede tener muerte infinita o quedar censurada como no observada. No se inventa su muerte al terminar un archivo. Empates pueden cambiar representantes elegidos, sin cambiar las multiplicidades de intervalos pertinentes.

En H₀ cada punto aislado inicia una componente. Cuando una arista une dos componentes distintas, queda una menos; una clase sobrevive a la fusión y otra muere. Cuando sus nacimientos empatan se elige un representante coherente.

En H₁ hay que revisar también las caras. En un Rips completo, tres aristas de un triángulo implican su cara en ese mismo umbral. El cálculo solo del grafo puede informar ciclos que no existen como clases del complejo completo.

Existen teoremas de estabilidad con métricas e hipótesis precisas. Por ejemplo, sobre los mismos vértices, si todas las distancias cambian como máximo η, el diámetro de cada símplex cambia como máximo η. Hay inclusiones de una filtración en la otra desplazando la escala por η.

Eso controla perturbaciones de la construcción; no certifica que cada barra larga sea una señal científica ni cada corta ruido. Se estudian muestreo, unidades, truncamiento, estabilidad pertinente y relación con la pregunta. Los números de Betti tampoco identifican una forma única.