En una categoría tenemos objetos y mapas. Si además conservamos mapas entre esos mapas, aparece un segundo nivel de información. Usaremos categorías, funtores y transformaciones naturales como primer ejemplo; después veremos qué cambia al sustituir igualdades estrictas por comparaciones coherentes y cómo los triángulos simpliciales expresan composición.
Si necesitas repasar:
1. Un nivel superior conserva comparaciones entre flechas paralelas
Una 2-categoría tiene objetos, 1-morfismos y 2-morfismos. Para cada pareja de objetos, los 1-morfismos entre ellos y sus 2-morfismos forman una categoría Hom. Un 2-morfismo compara dos 1-morfismos con el mismo origen y destino.
El nivel no aumenta por tener más objetos. Aumenta al conservar un nuevo tipo de comparación. En Cat, los objetos son categorías, los 1-morfismos funtores y los 2-morfismos transformaciones naturales, con tamaños o universos fijados para los conjuntos de datos necesarios.
Una categoría con un solo objeto permite ver una transformación como una flecha
C tiene un objeto * y solo su identidad; D es el orden 0<1 como categoría.
Funtores
F elige F(*)=0 y G elige G(*)=1.Componente
La única flecha 0→1 de D define η_*: F(*)→G(*).La naturalidad respecto de la identidad se cumple.
Nivel
η es una comparación de nivel dos en Cat y no es invertible, porque no existe flecha 1→0 en D.
Una transformación natural no es necesariamente una igualdad ni un isomorfismo.
F y G tienen el mismo origen C y el mismo destino D.
No todas las parejas de funtores admiten una comparación del tipo pedido
F: C→D y H: C→E, con D y E distintos.
Tipos
Las componentes de F y H no llegan a la misma categoría.
Falta de dato
No hay un Hom_D(F(X), H(X)) definido sin otra relación entre D y E.
Conclusión
No se escribe una transformación F⇒H como si fueran paralelos. Hacen falta datos adicionales y otra construcción.
Los extremos se comprueban en cada nivel.
Tener una misma categoría de origen no basta.
2. La naturalidad es la condición que convierte componentes en un 2-morfismo de Cat
Para F, G: C→D, una transformación η: F⇒G asigna η_X: F(X)→G(X) con G(u)η_X=η_YF(u) para cada u: X→Y. Aquí los funtores son covariantes; ambas rutas van de F(X) a G(Y).
Las componentes pueden relacionar objetos distintos, pero deben ser morfismos de D y cumplir todas esas compatibilidades. En la categoría de espacios vectoriales sobre Q, multiplicar por un mismo racional en cada espacio da un ejemplo natural.
Multiplicar por dos es natural en espacios vectoriales
η_V=2id_V para el funtor identidad.
Tipo
Cada componente es una aplicación lineal V→V.Flecha cualquiera
Si u: V→W es lineal, u(2v)=2u(v).Cuadrado
u∘η_V=η_W∘u para todo u.Esa ecuación prueba naturalidad de la familia completa.
El ejemplo usa una fórmula válida para todas las flechas.
Elegir un factor distinto en cada espacio podría romper esa ecuación.
Una componente elegida de forma aislada puede romper la compatibilidad
F=G=Id en Set: identidad en {*}, intercambio en {0,1}.
Flecha
Tomar u:{*}→{0,1} con valor cero.Una ruta
u después de la identidad da cero.
Otra
Intercambiar después de u da uno. Las componentes propuestas no son naturales.
Ser funciones válidas no las convierte por sí solo en un 2-morfismo de Cat.
La prueba de fallo usa una flecha concreta que debería hacer conmutar el cuadrado.
3. La composición vertical usa el funtor intermedio común
La asociatividad e identidades proceden de D.
Se han usado, en orden, la naturalidad de θ y la de η. Así las transformaciones entre C y D forman una categoría Hom(C, D).
Calcular un compuesto vertical componente a componente
En espacios vectoriales racionales, η=×2 y θ=×3 sobre el funtor identidad.
Primera
v se transforma en 2v.
Segunda
Se transforma en 3(2v)=6v.Familia
Cada componente del compuesto es ×6, otra transformación natural.
El compuesto compara el primer y el último funtor.
En este caso coinciden los tres funtores, pero las dos transformaciones son datos distintos.
La identidad de una transformación no es la categoría identidad
La transformación identidad de un funtor F: C→D.
Componentes
En cada X se toma id_(F(X)).
Componer
η_X∘id_(F(X))=η_X y las identidades del otro extremo también dejan η_X igual.
Nivel
Esta es una identidad de nivel dos sobre el 1-morfismo F; id_C es una identidad de nivel uno sobre C.
Las identidades también tienen tipos y niveles.
No se sustituye id_F por id_C en una composición vertical.
4. La composición horizontal pega comparaciones a través de categorías consecutivas
El compuesto horizontal compara KF con LG. En X se escribe θ_(G(X))∘K(η_X), o equivalentemente L(η_X)∘θ_(F(X)); ambas rutas coinciden por naturalidad de θ.
Componer primero con un funtor a un lado se llama también whiskering. En una 2-categoría estricta, las composiciones horizontal y vertical satisfacen la ley de intercambio: una cuadrícula de comparaciones puede componerse por filas o por columnas con el mismo resultado.
Comprobar los extremos de las dos fórmulas
η_X: F(X)→G(X) y θ: K⇒L.
Primera ruta
K(η_X) lleva KF(X) a KG(X); θ_(G(X)) lleva después a LG(X).
Segunda
θ_(F(X)) lleva KF(X) a LF(X); L(η_X) lleva después a LG(X).
Igualdad
La naturalidad de θ aplicada a la flecha η_X iguala las rutas.
La composición horizontal se apoya en un cuadrado natural concreto.
θ_X no sería una componente bien tipada aquí: sus índices son objetos de D.
Una cuadrícula escalar ilustra el intercambio
Sobre Id de espacios racionales, una columna usa ×2 y después ×3; otra ×5 y después ×7.
Por columnas
Los compuestos verticales son ×6 y ×35; al componer horizontalmente queda ×210.
Por filas
Los horizontales son ×10 y ×21; el vertical da también ×210.
Alcance
El cálculo ilustra la ley. La razón general usa functorialidad y naturalidad, no que todos los 2-morfismos sean escalares.
Las dos rutas respetan la misma cuadrícula de datos.
Se han conservado las posiciones de cada transformación.
5. Debilitar una igualdad añade comparaciones y condiciones de coherencia
Una 2-categoría estricta exige asociatividad e identidades de los 1-morfismos como igualdades. Cat es estricta con las convenciones habituales de composición de funtores.
Una bicategoría sustituye esas igualdades por 2-isomorfismos asociadores y unitarios, que cumplen el pentágono y el triángulo. No significa que cualquier comparación sirva: la coherencia exige que las distintas rutas de reagrupación sean compatibles.
El tensor da un ejemplo de asociador
Espacios vectoriales U, V, W.
Dos presentaciones
(U⊗V)⊗W y U⊗(V⊗W) provienen de construcciones agrupadas de forma distinta.
Mapa canónico
(u⊗v)⊗w se envía a u⊗(v⊗w), extendiendo linealmente; tiene inversa canónica.
Bicategoría
Una categoría monoidal como esta puede verse como bicategoría con un objeto, espacios como 1-morfismos y mapas lineales como 2-morfismos.
La asociación se expresa por isomorfismo especificado, sin exigir igualdad literal de las construcciones.
El ejemplo usa un tensor con sus asociadores y unidad, no una operación sin coherencias.
Cuatro factores hacen visible el pentágono
Reagrupar (((u⊗v)⊗w)⊗z) hasta u⊗(v⊗(w⊗z)).
Elecciones
Hay cinco parentizaciones de cuatro factores. Las rutas del pentágono usan diferentes sucesiones de asociadores.
Vectores puros
Ambas rutas envían el tensor escrito al mismo tensor totalmente agrupado a la derecha.
Linealidad
Los tensores puros generan; por eso las rutas coinciden en todo el espacio. La unidad del cuerpo satisface análogamente el triángulo.
Una coherencia compara rutas completas y no solo parejas aisladas.
Las cinco parentizaciones son datos finitos; la afirmación general de coherencia requiere su teorema.
6. Equivalencia permite isomorfismos naturales donde isomorfismo estricto exige igualdad
Un isomorfismo de categorías tiene inversa con GF=id_C y FG=id_D literalmente. Una equivalencia permite isomorfismos naturales entre esas composiciones y las identidades.
La diferencia importa al cambiar una presentación con objetos repetidos por otra más pequeña. La equivalencia conserva la estructura hasta isomorfismo, pero no obliga a una biyección literal de objetos. En cambio sí conserva los conjuntos de morfismos entre objetos correspondientes mediante plena fidelidad.
Dos objetos isomorfos pueden reducirse a un representante
C tiene objetos a, b y exactamente una flecha entre cada pareja; D tiene un objeto y solo su identidad.
Funtores
F colapsa a y b al único objeto; G elige a al volver.
Composiciones
FG=id_D.GF envía ambos objetos a a y no es literalmente id_C.
Comparación
Las flechas únicas a→a y a→b forman un isomorfismo natural GF⇒id_C. Hay equivalencia, pero no isomorfismo de categorías porque los números de objetos difieren.
Las comparaciones naturales compensan la elección de representante.
En C hay cuatro flechas en total, incluidas las dos identidades.
Tener un solo objeto no hace equivalente cualquier categoría al punto
Una categoría con un objeto y grupo de automorfismos C₂.
Morfismos
Su Hom del objeto a sí mismo tiene dos elementos.
Punto
La categoría de un punto solo tiene una flecha.
Obstrucción
Una equivalencia es plenamente fiel y debería inducir una biyección de esos Hom. No existe.
La equivalencia no borra automorfismos esenciales.
El ejemplo anterior tenía un único morfismo entre cada pareja, una condición diferente.
7. Las homotopías entre caminos conservan sus extremos
Dos caminos γ, δ de a a b pueden compararse mediante H(s, t), con H(0, t)=γ(t), H(1, t)=δ(t), H(s,0)=a y H(s,1)=b. Las dos últimas condiciones fijan los extremos durante la deformación.
Al concatenar caminos parametrizados por [0,1] se reparte el intervalo. Las dos agrupaciones de tres caminos usan repartos distintos y no suelen ser literalmente iguales, aunque están relacionadas por reparametrización y homotopía. Conservar esas comparaciones lleva a niveles superiores; tomar clases de homotopía produce el grupoide fundamental.
Deformar un arco hacia una recta con extremos fijos
En R², γ(t)=(t,0), δ(t)=(t, t(1−t)), 0≤t≤1.
Fórmula
H(s, t)=(t, s·t(1−t)).Bordes en s
Con s=0 queda γ y con s=1 queda δ.Extremos
t=0 da siempre (0,0), y t=1 siempre (1,0).Se cumplen las cuatro condiciones.
Es una comparación entre caminos paralelos.
El segundo término se anula en ambos extremos para todo s.
Cambiar un extremo cambia la pregunta
Comparar γ(t)=(t,0) con ρ(t)=(t,1).
Inicio
γ empieza en (0,0) y ρ en (0,1).
Paralelismo
No son flechas de la misma pareja de puntos.
Condición
No existe una homotopía con un mismo extremo inicial fijo que satisfaga esas dos fronteras. Permitir mover extremos sería otra noción.
Las condiciones de frontera son parte de la definición.
Estar dibujados en el mismo plano no basta.
8. En una (∞,1)-categoría puede fallar la invertibilidad en nivel uno, pero no en niveles superiores
Una (∞,1)-categoría conserva comparaciones de todos los niveles y las de nivel mayor que uno son invertibles en el sentido homotópico. Los 1-morfismos no tienen por qué serlo. Una (∞,0)-categoría modela un espacio, donde toda la información de morfismos es invertible en el sentido correspondiente.
Cat con todas las transformaciones naturales no es por ello un ejemplo literal de (∞,1): algunas de sus comparaciones de nivel dos no son invertibles. Una 2-categoría general retiene ese tipo de no invertibilidad y corresponde a otra estructura.
Una categoría ordinaria ya aporta un caso con flechas no invertibles
Set, vista mediante su nervio.
Flecha
Una función constante de {0,1} a {*} no es invertible.
Modelo
El nervio de una categoría ordinaria es una cuasicategoría y, por tanto, un modelo de (∞,1)-categoría.
Sentido
La exigencia de invertibilidad superior no convierte automáticamente esa función en una biyección.
El uno en (∞,1) permite esta no invertibilidad de primer nivel.
No se afirma que todos los mapas de un espacio ordinario sean invertibles como funciones.
Una transformación no invertible diferencia a Cat del ejemplo anterior
F, G del punto al orden 0<1, con η:0→1.
Nivel
En Cat, η es un 2-morfismo.
Sin inversa
No existe una flecha 1→0 y no hay transformación inversa.
Conclusión
Conservar todas esas transformaciones no satisface la condición de invertibilidad por encima del nivel uno. Hay que especificar qué modelo y comparaciones se retienen.
No se identifican dos teorías por compartir dibujos de flechas dobles.
El argumento usa una no invertibilidad explícita.
9. Los cuernos interiores dan una definición precisa de composición coherente
Un conjunto simplicial tiene vértices, aristas, triángulos y símplices superiores con caras y degeneraciones compatibles. Un cuerno interior 
, con 0<i<n, contiene todas las caras salvo la i-ésima; extenderlo a 
aporta la cara faltante y el símplice.
Una cuasicategoría exige que todo cuerno interior, en todas esas dimensiones, admita relleno. No exige unicidad. En el nervio de una categoría ordinaria los rellenos interiores son únicos, lo que caracteriza ese caso. Un complejo de Kan exige además rellenar los cuernos exteriores y modela un espacio.
El triángulo interior añade el compuesto
En el orden 0<1<2, dar las aristas 0→1 y 1→2.
Lo que falta
El cuerno interior de dimensión dos no trae la arista 0→2 ni la cara triangular.
Rellenar en el nervio
La arista faltante es el compuesto, la única flecha 0→2.El triángulo expresa esa composición.
Límite
Un grafo simplicial con esas dos aristas y sin arista 0→2 no puede tener ese relleno y no es cuasicategoría.
Pedir solo flechas consecutivas sin composición deja una condición incumplida.
En general también hay que exigir rellenos en dimensiones superiores, no solo triángulos.
Un cuerno exterior puede pedir una inversa que no existe
Nervio del orden A<B; vértices del triángulo A, B, A, con aristas A→B y A→A identidad.
Cara ausente
Falta la arista desde B hasta A: es un cuerno exterior, no el interior que encadena dos flechas.
Obstrucción
En el orden A<B no existe ninguna flecha B→A, así que no puede rellenarse.
Distinguir
El nervio sí cumple los rellenos interiores de una categoría, pero no todos los de Kan. Modela una categoría con una flecha no invertible, no un espacio.
La diferencia entre cuernos interiores y todos los cuernos tiene contenido algebraico.
La falta de esta arista basta para demostrar que no es Kan.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Identificar niveles
En Cat, clasifica una categoría C, un funtor F y una transformación η.
Objetos
En Cat, una categoría C es un objeto: nivel cero.
Primera flecha
Un funtor F: C→D relaciona dos categorías: nivel uno.
Paralelismo
Para η: F⇒G, los dos funtores deben tener el mismo origen C y destino D.
Segunda flecha
La transformación natural compara esos funtores: nivel dos.
Componentes
Cada η_X: F(X)→G(X) es una flecha de D y debe cumplir naturalidad.
Comprobar
Los extremos y las condiciones corresponden al nivel, no al número de objetos que tenga C.
Los niveles son 0,1,2 respectivamente.
Los dominios y codominios corresponden a cada nivel.
EJEMPLO RESUELTO 2
Composición vertical
Dados η:F⇒G y θ:G⇒H, describe θ∘η.
Datos
η: F⇒G y θ: G⇒H son transformaciones entre funtores con el mismo origen y destino.
Intermedio
El funtor G coincide como destino de η y origen de θ.
Componente
Definimos (θ∘η)_X=θ_X∘η_X.Extremos
La composición lleva F(X) a H(X).
Naturalidad
H(u)θ_Xη_X=θ_YG(u)η_X=θ_Yη_YF(u), usando ambas naturalidades.Conclusión
El resultado es una transformación natural F⇒H, el compuesto vertical.
Una transformación F⇒H.
El funtor intermedio G coincide en ambas piezas.
Los símbolos que hemos usado
- Cat
- 2-categoría de categorías pequeñas, funtores y transformaciones naturales, con universo fijado.
- F:C→D
- 1-morfismo en Cat: un funtor.
- η:F⇒G
- 2-morfismo entre funtores paralelos F,G:C→D.
- θ∘η
- Composición vertical de transformaciones con funtor intermedio coincidente.
- Hom(C,D)
- Categoría cuyos objetos son funtores C→D y cuyos morfismos son transformaciones naturales.
- Equivalencia
- Morfismo con cuasi-inversa e identidades recuperadas mediante isomorfismos del nivel superior.
- Δⁿ
- Símplice estándar de dimensión n en el lenguaje de conjuntos simpliciales.
- Λᵢⁿ
- Cuerno: parte de la frontera de Δⁿ que omite la cara opuesta al vértice i.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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