Cuantización geométrica

En mecánica clásica un estado es un punto de una variedad simpléctica (M, ω). Un observable es una función real f sobre M. Por ejemplo, en el plano de fase un estado tiene una posición q y un momento p, y la energía es una función H(q, p).

En un modelo cuántico un estado puro es un rayo de un espacio de Hilbert: vectores no nulos que difieren por un escalar complejo no nulo representan el mismo rayo. Los observables se describen por operadores con propiedades y dominios adecuados. Un punto clásico y una función de onda no son objetos del mismo tipo.

Elegimos ℏ>0 y buscamos una línea hermítica L con conexión unitaria ∇.

Fijamos .

La curvatura de una conexión unitaria es imaginaria. Con nuestra convención de Chern, .

El factor 2π y ℏ importan. Localmente se puede elegir un potencial real para ω y construir una conexión; globalmente hacen falta transiciones coherentes entre esas referencias. Cambiar la convención de signo requiere ajustar conjuntamente conexión, campo hamiltoniano y operadores.

El teorema de pre-cuantización afirma que tal línea con conexión existe si y solo si [ω/(2πℏ)] está en la imagen de H²(M; Z) en la cohomología real. El cambio de coeficientes puede olvidar torsión; decir que la clase real es integral se entiende en ese sentido.

Equivalentemente, cada período sobre un ciclo integral de dimensión dos debe ser un entero. Comprobar un pequeño disco no basta: un disco no es un ciclo cerrado que detecte todos los períodos globales. En una superficie cerrada conexa orientada, la clase fundamental genera H₂ y basta comprobar su área simpléctica dividida por 2πℏ.

Si una superficie cerrada tiene varias componentes, se comprueba el período en cada una. La suma total no sustituye la lista de períodos: los ciclos fundamentales de las componentes son independientes.

Incluso fijando la curvatura, el fibrado con conexión puede no quedar determinado. Tensorizar con una línea plana deja la curvatura igual, pero puede cambiar la holonomía alrededor de lazos. La integralidad garantiza existencia; no una elección universal de todos los datos.

La métrica hermítica de L permite comparar secciones en cada fibra. Integrar ese producto con el volumen ωⁿ/n! y completar las secciones de norma finita produce un espacio de Hilbert L²(M, L). En M compacta, una sección suave tiene norma finita; en M no compacta hay que comprobarlo.

Una sección pre-cuántica puede depender de q y de p. La conexión permite combinar derivadas covariantes en direcciones hamiltonianas y multiplicación por observables para construir operadores. Sus signos y conmutadores se fijan de forma conjunta con las convenciones; ser un operador formalmente simétrico no resuelve automáticamente su dominio o autoadjunción.

Un subespacio lagrangiano en dimensión 2n tiene dimensión n y ω se anula al restringirse a él. Una polarización real elige suavemente esas direcciones y exige involutividad, para que se integren en hojas. La condición de sección polarizada es s=0 para V en esas direcciones.

En T*Rⁿ, la polarización vertical está generada por las derivadas respecto de p. Con la conexión adaptada del ejemplo anterior, es la derivada ordinaria ∂p, porque p dq se anula en la dirección p.

Su producto interno requiere una medida o densidad en q: no se usa sin más la integral sobre todas las variables de fase.

En una variedad Kähler compatible tomamos la distribución compleja . Tiene dimensión compleja n dentro del tangente complejificado de dimensión 2n. La forma ω, de tipo (1,1), se anula sobre dos vectores de P, y la integrabilidad de J garantiza involutividad.

La condición define secciones holomorfas de L.

Como F tiene tipo (1,1), su parte (0,2) es cero y el operador ∇⁰¹ tiene cuadrado cero. En una variedad compleja compacta, H⁰(M, L) es finito dimensional. Esto es un resultado global de análisis complejo, no una afirmación para todo dominio abierto.

Si el período normalizado es n y elegimos la polarización compleja habitual, la línea es O(n). Sin corrección de semiformas, los estados son H⁰(CP¹, O(n)). Para n≥0, las secciones son polinomios homogéneos de grado n en X, Y. Los monomios Xⁿ, Xⁿ⁻¹Y,…, Yⁿ forman una base de n+1 elementos.

Con la normalización de Fubini–Study de la lección anterior, ∫ω_FS=π. Para obtener grado n usamos ω=2nℏω_FS, cuya área es 2πnℏ. No se omite ese factor dos al reutilizar la fórmula. En el caso simpléctico Kähler positivo sobre CP¹, n es positivo.

No todo operador pre-cuántico preserva las secciones polarizadas. Para que descienda directamente debe respetar la condición de polarización. Comparar polarizaciones distintas exige construcciones adicionales. El test de existencia de L no resuelve esas cuestiones.

La corrección metapléctica puede tensorizar L con una raíz cuadrada del canónico de la polarización, cuando existe.

El espacio corregido pasa de H⁰(O(n)) a H⁰(O(n−1)), con dimensión n para n≥1. Los ejercicios originales de esta lección usan expresamente el espacio sin corrección.