Una homología no cuenta sin más todos los generadores: algunos son fronteras y desaparecen, y ciertas combinaciones sobreviven. Floer construye un complejo a partir de órbitas y trayectorias entre ellas. Primero haremos esa cuenta en modelos pequeños y después explicaremos qué condiciones permiten que las trayectorias geométricas definan una diferencial.
Si necesitas repasar:
1. Morse enseña a contar trayectorias antes de pasar al espacio de lazos
Una función de Morse tiene puntos críticos cuyo Hessiano es invertible. El índice es el número de direcciones negativas de ese Hessiano. El descenso por gradiente va hacia valores menores de la función. Elegir una métrica de Morse–Smale hace transversales las variedades estables e inestables.
El complejo de Morse tiene un generador por punto crítico y su diferencial cuenta trayectorias descendentes entre índices que difieren en uno. Recupera la homología de la variedad compacta. Floer busca un esquema análogo en un espacio de lazos; allí las ecuaciones de las trayectorias son ecuaciones en derivadas parciales.
Contar direcciones negativas de un punto de silla
f(x, y)=−x²+3y² en el origen.
Crítico
Las primeras derivadas son −2x y 6y y se anulan en (0,0).
Hessiano
La matriz es diag(−2,6), invertible.
Índice
Hay un autovalor negativo: índice uno.
La palabra índice cuenta direcciones negativas, no el signo del determinante sin más.
Un mínimo con Hessiano positivo tendría índice cero.
Dos descensos pueden cancelarse módulo dos
Función altura en S¹, con máximo y mínimo.
Índices
El máximo tiene índice uno y el mínimo cero.
Trayectorias
Hay dos descensos no parametrizados, uno por cada semicírculo.
Contar en F₂
1+1=0; la diferencial del máximo es cero.
Sobre F₂ quedan una clase en grado uno y otra en grado cero.
No se cuenta una trayectoria por cada valor del parámetro: las traslaciones parametrizadas representan el mismo descenso.
2. Fijar una versión y comprobar sus hipótesis
Trabajamos en M cerrada —compacta y sin borde— con ω y c₁(TM) nulas al evaluarse en π₂(M). Consideramos órbitas contractibles de período uno. La primera condición hace que el área del disco de relleno no cambie la acción; la segunda evita ambigüedad de grado al cambiar el disco.
Elegimos un Hamiltoniano periódico en t, no degenerado: el diferencial de su retorno en una órbita no tiene autovalor uno. Las órbitas son aisladas y, por compacidad, hay finitas. Se elige además un 
compatible y genérico para obtener regularidad. Estas son hipótesis de esta construcción; otras versiones amplían el marco con herramientas adicionales.
El toro plano satisface las dos condiciones esféricas
M=T².
Esferas
π₂(T²)=0, porque su cubierta universal R² es contractible.Evaluaciones
ω y c₁ no tienen clases esféricas no nulas sobre las que dar una evaluación distinta de cero.
Datos restantes
Todavía hay que elegir H no degenerado y J regular; no aparecen automáticamente por elegir el toro.
El toro es un modelo del marco cerrado asférico usado aquí.
Ser asférico no afirma que su forma de área sea exacta en el toro.
Reconocer la degeneración en un modelo lineal local
H=λ(q²+p²)/2 en el plano de fase.
Movimiento
El retorno en tiempo uno es un giro de ángulo −λ.
λ=1
En el origen el retorno no tiene autovalor uno: el punto fijo es no degenerado.
λ=2π
El retorno es la identidad; aparece el autovalor uno y falla la condición.
No degeneración de órbitas es una condición sobre el retorno, no solo sobre el Hessiano de H.
El plano es un ejemplo local para la condición; no satisface la compacidad de la construcción global.
3. La acción tiene como críticos las órbitas hamiltonianas
Conservamos 
=dH y definimos, para un lazo x con disco de relleno v, 
. Dos rellenos se pegan formando una esfera; la diferencia de áreas se anula por nuestra hipótesis. El índice de una órbita usa la linealización y una trivialización que se extiende al disco.
La variación de la acción es ![d\mathcal A_H(x)[\xi]=-\int_0^1\omega(\xi,\dot x-X_H)\, dt](../assets/builds/567cd5e2327763420eb0c3cfba1f44a465c95bc5f36d0596a573c2c074c449e1/math-fe829496995a.svg)
.
.Un lazo cualquiera no es una órbita: debe satisfacer esa ecuación, además de cerrarse.
Evaluar una órbita constante en un crítico autónomo
H no depende de t y dH(m)=0; x(t)=m.
Campo
(m)=0, así que ẋ=0=(m).Relleno
El disco constante tiene área cero.
Acción
La integral de H durante un período es H(m), por tanto
(x)=−H(m).
Con estos signos, el valor de la acción de una órbita constante es el menos de H.
No se introduce el signo opuesto al comparar con el descenso de acción.
Un círculo cerrado puede no ser crítico de la acción
En R², H=0 y 
(t)=(r cos(2πt), r sin(2πt)), r>0.
Área
El disco orientado tiene área πr² y
()=−πr².Variar r
Su derivada respecto de r es −2πr≠0.Movimiento
=0, mientras ẋ_r no es cero; por eso el lazo no es una órbita de H=0.
Cerrar un lazo no verifica la ecuación de Hamilton.
Es un cálculo local de la acción en el plano; no un cálculo global de Floer para un espacio compacto.
4. La ecuación de Floer hace descender la acción, no el tiempo físico
), positiva para un compatible.El gradiente L² de nuestra acción es (ẋ−).
.La variable t recorre el lazo de período uno; s recorre la trayectoria entre lazos.
Se exige convergencia a órbitas x e y al tender s a menos y más infinito. Con H y J independientes de s, la energía 
cumple E=(x)−(y)≥0. El descenso es formal en el espacio de lazos; la ecuación se estudia como problema elíptico, no como un problema de valor inicial bien puesto para cualquier lazo.
Verificar una trayectoria explícita que no depende de t
Modelo local: f(q)=(q²−1)²/4, H=−f(q)−p²/2 y J(a, b)=(−b, a).
Reducir
Para u(s, t)=(a(s),0), la ecuación es a′=−f′(a)=a(1−a²).Solución
a(s)=1/√(1+e^{−2s}) satisface esa derivada y va de cero a uno.Energía
A pasa de f(0)=1/4 a f(1)=0.Además ∫(a′)²ds=∫₀¹a(1−a²)da=1/4.
La identidad de energía se comprueba por dos cálculos independientes.
Es un modelo explícito en R² para la ecuación y sus signos; no prueba compacidad, invariancia ni un conteo de Floer global.
Energía cero elimina la variación en s
Datos fijos y (x)=(y).
Identidad
E=(x)−(y)=0.Positividad
La integral de |
|² es cero; la suavidad da =0.Interpretar
u(s, t)=x(t) no cambia con s.La órbita x puede seguir siendo no constante en t.
Constante respecto de s no significa punto inmóvil respecto del tiempo t.
Esta distinción evita confundir una trayectoria entre órbitas con la órbita misma.
5. Para contar hay que quitar la traslación en s
Si u(s, t) es solución con datos fijos, u(s+c, t) describe la misma trayectoria no parametrizada. Para órbitas distintas y datos regulares, el espacio de soluciones módulo esa traslación tiene dimensión esperada μ(x)−μ(y)−1. Fijamos la normalización de μ coherente con esta fórmula.
Con diferencia de índice uno la dimensión es cero: son trayectorias rígidas. La diferencial sobre F₂ cuenta su número módulo dos. La regularidad justifica la dimensión y los resultados de compacidad justifican que el conteo sea finito. En coeficientes enteros se necesitan orientaciones coherentes y signos.
Restar la dimensión de la traslación
μ(x)=4, μ(y)=3.
Diferencia
4−3=1.Cociente
La dimensión esperada módulo traslación es 1−1=0.Conteo
Con regularidad y compacidad se cuentan puntos, no una curva continua de parámetros s.
Esta es la diferencia de índice que interviene en la diferencial.
La resta de dimensiones no demuestra sola ni regularidad ni finitud.
El coeficiente depende de la paridad
Supongamos que un espacio rígido ya construido tiene tres trayectorias.
Contar
Su cardinal es tres.
Reducir en F₂
3=1 módulo dos.Comparar
Con cuatro trayectorias el coeficiente sería cero, aunque el espacio no estuviera vacío.
Coeficiente cero no significa necesariamente ausencia de trayectorias.
Los números se dan como hipótesis de un ejemplo de conteo; no se atribuyen a un Hamiltoniano no calculado.
6. Las trayectorias rotas explican por qué ∂² se anula
Con diferencia de índice dos, el espacio módulo traslación es unidimensional.
Convergencia y pegado son teoremas necesarios para identificar exactamente esa frontera; no se deducen solo de que la dimensión esperada sea uno.
Una variedad compacta de dimensión uno tiene un número par de extremos. Contarlos en F₂ da cero, y ese conteo coincide con el coeficiente de y en ∂²x. La compacidad de M controla el escape; ω nula en π₂ excluye esferas pseudoholomorfas no constantes de energía positiva.
Así se evitan límites extra en el marco elegido.
Ver la cancelación en un modelo algebraico
Grados 2,1,0 con x; z₁, z₂; y. Dar ∂x=z₁+z₂ y ∂z₁=∂z₂=y.
Aplicar otra vez
∂²x=∂z₁+∂z₂.Sustituir
∂²x=y+y.Reducir
En F₂, y+y=0.Las dos rutas se cancelan.
Un número par de rutas produce el coeficiente cero esperado.
Este ejemplo es álgebra ilustrativa; no reemplaza los teoremas geométricos de frontera y pegado.
Detectar una lista que no puede ser una diferencial
Dar ∂x=z, ∂z=y y y≠0.
Componer
∂²x=∂z=y.Comparar
No es cero.
Consecuencia
z es una frontera, pero no es ciclo; no puede formar un complejo con esos datos.
Comprobar ∂²=0 es necesario antes de calcular homología.
No se intenta arreglar el fallo escribiendo un cociente cuyo denominador no está contenido en el numerador.
7. La homología conserva ciclos y elimina fronteras
Una cadena es una combinación lineal de generadores. Un ciclo está en ker ∂. Una frontera está en im ∂ del grado superior. Como ∂²=0, toda frontera es ciclo y podemos formar 
. En dimensiones finitas, dim HF_k=dim ker ∂_k−dim im ∂_{k+1}.
Cambiar H y J se trata con mapas de continuación y homotopías de cadenas. En el caso cerrado asférico fijado, Floer recupera la homología ordinaria con F₂ y una normalización coherente de los grados, eventualmente desplazada. Esta invariancia es un teorema geométrico, no una propiedad de cualquier matriz arbitraria.
Una combinación sobrevive aunque cada sumando no sea ciclo
C₁=⟨a, c⟩, C₀=⟨b, d⟩, con ∂a=∂c=b y sin otros grados.
Núcleo en grado uno
∂(αa+βc)=(α+β)b: el núcleo es ⟨a+c⟩.Imagen
La imagen en grado cero es ⟨b⟩; no hay fronteras entrantes en grado uno.
Homología
H₁=⟨[a+c]⟩ y H₀=⟨[d]⟩, una dimensión cada uno.
Cuatro generadores dejan dos clases en total.
Se presenta un complejo algebraico, sin afirmar que sea todo un complejo de Floer del marco cerrado asférico.
La energía de continuación necesita un término adicional
Tomar 
=H+c(s), con c(−∞)=0 y c(+∞)=2.
Campo
La constante espacial c(s) no cambia
. Una órbita fija puede dar u independiente de s.Energía
Entonces E=0, pero la acción final es dos unidades menor.
Compensar
Para datos variables aparece el término −∫
; vale −2 y compensa la diferencia de acciones dos.
La fórmula E=A(x)−A(y) de datos fijos no se reutiliza omitiendo la variación de H.
El ejemplo muestra por qué la construcción de continuación requiere su propia identidad.
8. Una cota de homología da una cota de órbitas
La dimensión total de la homología de un complejo finito no supera la dimensión total de sus cadenas. Cada órbita contractible no degenerada aporta un generador. El isomorfismo con la homología ordinaria da una cota inferior para el número de esas órbitas: la suma de los números de Betti con F₂.
Esta es una forma de la cota de Arnold bajo las hipótesis elegidas. Un par acíclico puede añadirse como sumando y aumentar el número de generadores sin cambiar la homología. No debe presentarse un par acíclico aislado como toda la homología hamiltoniana de una variedad cerrada no vacía.
Aplicar la cota en el toro bidimensional
Betti con F₂: b₀=1, b₁=2, b₂=1.
Sumar
1+2+1=4.Comparar
El número de generadores debe ser al menos cuatro.
Interpretar
Un Hamiltoniano no degenerado del marco estudiado tiene al menos cuatro órbitas contractibles de período uno.
Tres órbitas no bastarían para sostener esa homología.
La afirmación cuenta órbitas de período uno del sistema dado, no puntos de cada curva como generadores separados.
Añadir un par que se cancela no añade homología
Sumando C₁=F₂a, C₀=F₂b, ∂a=b.
Grado uno
La diferencial es inyectiva y su núcleo es cero.
Grado cero
Todo C₀ es imagen, así que el cociente es cero.
Sumando
Añade dos generadores y ninguna clase de homología al complejo mayor.
El número bruto de órbitas y el tamaño de la homología pueden ser diferentes.
Este par es un modelo algebraico de cancelación; no la teoría completa de una variedad cerrada.
9. Otras versiones necesitan hipótesis y correcciones propias
Si ω no se anula en π₂, el disco puede modificar la acción y aparecen áreas de esferas. Se emplean recubrimientos del espacio de lazos, coeficientes de Novikov y herramientas de compacidad más amplias. La monotonía ayuda en ciertas versiones, pero no elimina por declaración los problemas de burbujeo y transversalidad.
En Floer lagrangiano, los generadores son intersecciones de lagrangianas y las trayectorias son tiras con borde. El burbujeo de discos puede obstruir ∂²=0 y se necesitan condiciones o correcciones. Hay también teorías para conexiones y variedades tridimensionales. Comparten un esquema, con generadores y análisis propios.
Reconocer la transversalidad de dos curvas antes de contar
En R², L₀: p=0 y L₁: p=q²−1.
Intersecciones
q²−1=0 da q=±1.Tangentes
L₀ tiene pendiente cero y L₁ pendiente 2q, que vale ±2.
Comparar
Las pendientes son distintas: las dos intersecciones son transversales.
Son candidatos geométricos a generadores en una versión lagrangiana apropiada.
El plano no compacto exige condiciones adicionales en el infinito; este cálculo no construye por sí solo esa homología.
La esfera queda fuera de la simplificación asférica, no de toda teoría de Floer
M=S² con una forma de área positiva.
Clase esférica
La aplicación identidad S²→S² representa una clase de π₂.Evaluar
La integral de ω sobre ella es el área, estrictamente positiva.
Alcance
Falla nuestra hipótesis ω|π₂=0; una construcción para la esfera necesita tratar las áreas y las burbujas con otras herramientas.
Se distingue una limitación de esta versión de una inexistencia general.
No se aplican sus fórmulas de independencia del relleno en la esfera sin ampliar los datos.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un par que se cancela
Sobre F₂, toma C₁=F₂a,C₀=F₂b y ∂a=b. Calcula homología.
Escribir las cadenas
C₁ tiene base a y C₀ tiene base b, sobre F₂.
Grado uno
∂a=b≠0: la aplicación C₁→C₀ es un isomorfismo.Núcleo
ker ∂₁=0; no hay otros generadores en grado dos.
Primera homología
H₁=0.Grado cero
∂₀=0, así que ker ∂₀=C₀, pero im ∂₁=C₀.Segunda homología
H₀=C₀/C₀=0.Es un par acíclico ilustrativo, no una afirmación sobre toda una variedad cerrada.
Ambos grupos son cero.
Dos generadores pueden cancelarse.
EJEMPLO RESUELTO 2
Diferencial nula
Si C₀ tiene tres generadores y no hay otros grados ni diferencial, calcula H₀.
Identificar el espacio
Solo existe C₀, de dimensión tres.
Diferencial saliente
Es cero, porque no hay cadenas de grado menos uno.
Ciclos
ker ∂₀=C₀: los tres generadores son ciclos.
Fronteras entrantes
No existe C₁, así que im ∂₁=0.Cociente
H₀=C₀/0=C₀.Dimensión
dim H₀=3; aquí no hay cancelaciones.
H₀ tiene dimensión 3.
Aquí no hay cancelaciones.
Los símbolos que hemos usado
- F₂
- Cuerpo de dos elementos, con 1+1=0; permite contar trayectorias por su paridad sin elegir orientaciones coherentes.
- (M,ω)
- Variedad simpléctica cerrada de dimensión 2n; cerrada significa compacta y sin borde.
- Asfericidad usada
- ω y c₁(TM) evalúan cero en todas las clases de esferas de π₂(M); son condiciones distintas que aquí imponemos juntas.
- Hₜ
- Hamiltoniano suave dependiente de t∈R/Z, de período uno.
- X_{Hₜ}
- Campo definido por i_{X_{Hₜ}}ω=dHₜ, fijando esta convención de signo.
- Jₜ
- Estructura casi compleja compatible con ω; gₜ(v,w)=ω(v,Jₜw) es positiva.
- x(t)
- Órbita contractible de período uno: ẋ=X_{Hₜ}(x), x(t+1)=x(t).
- CFₖ y HFₖ
- Espacio de cadenas de Floer de grado k y su homología ker∂ₖ/im∂ₖ₊₁.
- μ(x)
- Índice entero de Conley–Zehnder con una convención de grado fijada para que las trayectorias rígidas bajen el grado en uno.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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