Forcing construye universos con conjuntos nuevos sin perder el control de los axiomas. La primera pieza será mucho más pequeña: escribir unos cuantos bits de una sucesión y decidir qué significa añadir información. Desde esas funciones finitas construiremos compatibilidad, filtros y exigencias densas. Al final separaremos ese mecanismo inicial del trabajo adicional necesario para demostrar independencia.
Si necesitas repasar:
1. Independiente significa que una teoría no demuestra ninguna alternativa
Una oración φ es independiente de T si T no demuestra φ ni demuestra ¬φ. No significa que sea difícil o que nadie haya encontrado una prueba todavía. Exhibir un modelo de T+φ y otro de T+¬φ lo demuestra por corrección de las reglas lógicas.
Los resultados sobre ZFC se expresan con consistencia relativa: si una teoría de partida es consistente, otra también. Construir un objeto nuevo no basta; hay que justificar los axiomas que conserva el universo resultante.
Un ejemplo pequeño de independencia por dos modelos
T dice que < es un orden lineal no vacío. φ dice que hay elemento máximo.
Un modelo con máximo
El orden {0,1,2} satisface T y tiene máximo dos, así que satisface φ.
Un modelo sin máximo
(Z,<) satisface T y no tiene máximo: para cada entero existe el siguiente.
No demostrabilidad
Una prueba de φ desde T fallaría en Z; una prueba de ¬φ fallaría en el orden finito. Por corrección, ninguna puede derivarse de esos axiomas.
La independencia se refiere exactamente a los axiomas elegidos.
Si añadimos a T que no hay máximo, φ deja de ser independiente de la teoría ampliada.
No encontrar una prueba no produce un segundo modelo
Se han buscado pruebas de una oración durante un tiempo finito sin éxito.
Qué sabemos
Solo se ha examinado una colección finita de posibles pruebas o intentos.
Qué falta
Podría existir una prueba más larga, o una refutación, o ninguna de las dos. La búsqueda no distingue esas posibilidades.
Obligación real
Para afirmar independencia se necesita un argumento de no demostrabilidad en ambos sentidos, por ejemplo modelos con respuestas opuestas bajo hipótesis explícitas.
Una dificultad observada no es una prueba de independencia.
El ejemplo anterior sí aporta las dos estructuras que faltaban aquí.
2. Una condición decide pocos bits; una condición más fuerte conserva lo decidido
En el forcing de Cohen P consta de funciones de dominio finito contenido en N y valores cero o uno.
Menor o igual significa aquí más fuerte: más información compatible con la anterior. La función vacía es la condición más débil.
Las coordenadas que faltan todavía no están decididas. No se rellenan por defecto con ceros. Una condición siempre sigue siendo finita, aunque permita fortalecerla tantas veces como haga falta.
Comprobar la dirección del orden
p={0↦1,2↦0}; q={0↦1,2↦0,5↦1}.
Decisiones antiguas
q conserva los valores de p en cero y dos.
Información nueva
q añade la coordenada cinco. Su dominio es finito y sigue siendo una función binaria.
Orden
q≤p.La inclusión como conjuntos de pares va p⊆q, al revés de la notación del orden de fuerza.
La convención se lee antes de comparar condiciones.
Cambiar el bit dos a uno no fortalecería p: lo contradiría.
Decidir tres coordenadas adicionales abre ocho posibilidades
Una condición ya decide cuatro coordenadas; se eligen otras tres distintas fuera de su dominio.
Primera coordenada
Puede recibir cero o uno sin cambiar lo anterior.
Tres elecciones
Cada combinación binaria de los tres valores da una extensión: 2·2·2=8.
Tamaño
Todas esas extensiones deciden siete coordenadas. No se han decidido las demás coordenadas naturales.
Extender un dominio no exige completar una sucesión infinita.
La cuenta ocho usa tres coordenadas nuevas especificadas, no cualquier dominio posible de tamaño tres.
3. Compatibles significa tener una extensión común, no estar ya ordenadas
Para funciones finitas binarias equivale a coincidir donde se solapan sus dominios. Si coinciden, la unión es una función finita que extiende ambas.
Si una coordenada recibe valores distintos, no puede haber extensión común. Dos condiciones con dominios diferentes pueden ser compatibles sin que ninguna extienda a la otra.
Dominios distintos pueden reunirse
p={0↦1} y q={2↦0}.
Solapamiento
No comparten coordenadas, así que no hay una decisión que choque.
Unión
r={0↦1,2↦0} conserva las dos.Por ello r≤p y r≤q.Comparabilidad
p no decide dos y q no decide cero. Ninguna extiende a la otra; son compatibles pero incomparables.
Compatibilidad es más débil que comparabilidad.
La extensión común no tiene por qué ser una de las condiciones iniciales.
Un solo bit discrepante basta para impedir la unión
p={0↦1,2↦0} y q={0↦1,2↦1}.
Acuerdo parcial
Ambas fijan el bit cero a uno. Ese acuerdo no elimina otras discrepancias.
Conflicto
En la coordenada dos, p exige cero y q exige uno.
Imposibilidad
Una función que extendiera a ambas debería asignar dos valores distintos a dos. No existe tal función, así que son incompatibles.
Para decidir compatibilidad se revisan todas las coordenadas comunes.
La unión como conjunto de pares existe, pero en este caso no es una función.
4. Un filtro reúne decisiones compatibles y conserva sus versiones más débiles
Con nuestro orden, un filtro G es no vacío, cerrado hacia condiciones más débiles y dirigido hacia condiciones más fuertes.
La dirección garantiza que las decisiones de cualquier par pueden reunirse dentro de G. La clausura hacia lo débil incluye las restricciones de una condición. Ser filtro todavía no significa ser genérico.
Las restricciones finitas de una sucesión forman un filtro
Fijar una sucesión binaria total a y tomar Gₐ={p∈P: p⊆a}.
No vacío y débil
La función vacía pertenece. Cualquier restricción de una p⊆a sigue estando incluida en a.
Dirección
Si p, q⊆a, no discrepan.Su unión finita r también está incluida en a y pertenece a Gₐ.
Interpretar
Gₐ es un filtro. Si a ya pertenece al modelo base, veremos que este filtro no es genérico sobre ese modelo.
Las propiedades de filtro se prueban por separado.
No se exige que todo fortalecimiento de p pertenezca: algunos pueden elegir un bit contrario a a.
Una cadena sin sus restricciones puede no ser filtro
Familia H={pₙ: n≥1}, donde pₙ fija los primeros n bits a cero.
Dirección
Para pₙ y pₘ, la condición con más bits extiende a ambas y está en H.
Restricción omitida
La condición vacía es más débil que cualquiera, pero no está en H.
Fallo
H no cumple clausura hacia lo débil. Para generar un filtro se añaden todas las condiciones más débiles que algún pₙ.
Una cadena descendente puede generar un filtro sin ser ella misma un filtro.
Todos los pₙ son condiciones finitas; la unión infinita se tratará después como otro objeto.
5. Denso significa que ninguna condición impide atender la exigencia
La exigencia puede cumplirse ahora o tras añadir decisiones. No requiere que p ya pertenezca a D, ni que D contenga todas las condiciones.
Un denso es abierto en el sentido del forcing si todo fortalecimiento de una condición suya sigue dentro. Densidad y esa clausura son propiedades distintas; no se confunde este uso de abierto con una afirmación sin especificar topología.
Decidir una coordenada concreta siempre es posible
D₅={p:5∈dom(p)}.
Si ya está
Cuando p decide cinco, basta q=p.La reflexividad da q≤p.Si falta
Elegir uno de los dos bits y añadir el par 5↦b. La unión sigue siendo función finita y extiende a p.
Conclusión
Desde cualquier p se llega a D₅, por lo que es denso. Todo fortalecimiento conserva la coordenada cinco, así que también es abierto hacia lo fuerte.
Un requisito local puede atenderse sin deshacer decisiones anteriores.
No se exige un valor concreto para el bit cinco; imponer cinco igual a uno no sería denso desde una p que ya lo fija a cero.
Un denso no tiene por qué conservarse al fortalecer
E={p: el dominio de p tiene tamaño par}.
Dominio par
Si p ya tiene tamaño par, no hay que cambiarlo.
Dominio impar
Añadir una coordenada nueva hace par su tamaño. Siempre existe una coordenada no usada porque el dominio era finito.
No abierto
Desde una p de tamaño par, añadir exactamente un bit da tamaño impar y sale de E. E es denso, pero no es cerrado bajo todos los fortalecimientos.
Las dos definiciones tienen obligaciones diferentes.
Exigir dominio exactamente {5} no sería denso: una condición que ya decide cero no puede perder esa decisión al fortalecerse.
6. La genericidad es relativa al modelo que aporta los densos
G es M-genérico si encuentra cada denso D⊆P que pertenece a M: G∩D≠∅. Para esta presentación suponemos un modelo transitivo M de ZFC numerable desde el universo exterior y un poset P∈M. Esa hipótesis semántica no se deduce sin más de la consistencia de ZFC.
Desde fuera enumeramos sus densos como D₀, D₁,… y escogemos una cadena pₙ₊₁≤pₙ con pₙ₊₁∈Dₙ. M no tiene por qué disponer de esa enumeración. Tomamos G formado por las condiciones más débiles que algún pₙ.
Cada etapa atiende una exigencia sin olvidar las anteriores
Se dispone externamente de D₀, D₁, D₂,… y una condición inicial p₀.
Primer paso
Densidad de D₀ proporciona p₁≤p₀ en D₀.Después densidad de D₁ proporciona p₂≤p₁ en D₁.Conservar decisiones
Aunque D₀ no sea abierto, p₁ sigue siendo un miembro de G. No necesitamos que p₂ pertenezca también a D₀ para que G lo encuentre.
Todos los densos
Para cada n, pₙ₊₁∈G∩Dₙ.Así se encuentra cada denso de la lista, no solo los primeros tres.
La cadena construye testigos concretos de cada intersección.
El paso de finitos ejemplos a toda la lista usa la recursión y la densidad general.
El filtro generado tiene la dirección correcta
G={q∈P: existe n con pₙ≤q}.
Debilitar
Si pₙ≤q y q≤r, entonces pₙ≤r por transitividad, por lo que r∈G.Reunir dos miembros
Si pₙ≤q y pₘ≤r, tomar k≥n, m.La cadena da pₖ≤q, r y pₖ∈G.No vacío
p₀ pertenece. Se cumplen no vaciedad, clausura hacia lo débil y dirección hacia lo fuerte.
La definición de G añade exactamente la clausura que faltaba a una cadena.
No se invierten las desigualdades por asociar menor con menos información.
7. La unión es una sucesión total y difiere de cada sucesión antigua
La dirección del filtro impide conflictos, así que c es función. Cada denso Dₙ que exige decidir la coordenada n pertenece al modelo base; encontrarlo hace que n esté en el dominio. De este modo c es una sucesión binaria total.
Para cada a∈M que sea una sucesión binaria, el conjunto Eₐ de condiciones que discrepan de a en alguna coordenada es denso y pertenece a M.
Decidir todo y ser nuevo son dos argumentos diferentes.
Decidir cada coordenada no significa decidirla en una sola condición
Supongamos G M-genérico para Cohen.
Unión coherente
Si dos miembros asignaran bits distintos a n, no tendrían extensión común dentro del filtro. Por eso la unión da a lo sumo un valor por n.
Totalidad
G encuentra Dₙ para cada n. Su miembro correspondiente decide n y aporta ese valor a la unión.
Resultado
c: N→{0,1} es total, aunque ningún miembro finito de G tenga dominio N.
Una unión infinita puede ser un objeto total sin ser una condición del poset.
Que dos condiciones sean compatibles no basta para totalizar; se necesitan los densos de coordenadas.
Escapar de una sucesión vieja usa una coordenada todavía libre
Fijar a∈M binaria y cualquier condición p.
Buscar sitio
El dominio de p es finito. Elegir n fuera de él.
Discrepar
Añadir n↦1−a(n) da una extensión q en Eₐ. Esto prueba densidad.
Usar genericidad
Como Eₐ∈M, G lo encuentra.La unión c hereda una discrepancia con a y no es igual a ella. Esto vale para cada a de M.
La sucesión genérica no pertenecía al modelo base.
Si se exigiera encontrar todos los densos del exterior y c ya existiera allí, E_c sería un denso que G no podría encontrar. La relatividad a M es esencial.
8. Los nombres describen todos los objetos de la extensión
M[G] no se define simplemente como M∪{G}, porque deben existir uniones, pares y otras construcciones con los objetos nuevos. Un nombre τ de M es un conjunto recursivo de parejas (σ, p), con σ otro nombre y p una condición.
Solo activan piezas las condiciones que pertenecen a G. M[G] reúne las evaluaciones de todos los nombres de M. La recursión controla cómo se construyen y evalúan.
Los nombres canónicos recuperan los objetos antiguos
El nombre canónico de x contiene las parejas (nombre canónico de y, condición vacía) para y∈x.
Vacío
El nombre de ∅ no tiene parejas, de modo que su evaluación es ∅.
Singleton
El nombre de {∅} contiene la pareja con el nombre vacío y la condición más débil. Todo filtro la contiene, así que evalúa a {∅}.
Recursión
Repitiendo la construcción se obtiene que el nombre canónico de x evalúa a x. Así los objetos antiguos quedan incluidos en la extensión.
Los nombres no representan solo novedades.
El argumento general es una inducción por pertenencia o rango, no solo la comprobación de dos conjuntos.
Una pieza condicional puede aparecer o desaparecer al evaluar
τ={(nombre canónico de 7, p)} para una condición p.
Si p∈G
La pareja se activa y τᴳ={7}.Si p∉G
La única pareja no se activa y τᴳ=∅.Distinguir conceptos
Esta regla describe evaluación con un G dado. No significa que cualquier condición distinta de p fuerce que p no estará en G.
Una condición incompatible con p sí impediría su pertenencia al mismo filtro.
Ausencia de información y garantía de ausencia no son equivalentes.
9. Forzar es garantizar verdad; todavía puede haber alternativas sin decidir
p⊩φ se lee p fuerza φ. La relación se define en el modelo base y es monótona hacia condiciones más fuertes. El teorema de forcing conecta estas garantías con la verdad en las extensiones genéricas; el lema de verdad proporciona una condición de G que fuerza cada afirmación verdadera allí.
No damos como definición ingenua que p simplemente haya escrito φ. Los nombres y la recursión de fórmulas también intervienen. Los bits de Cohen permiten comprobar casos iniciales sin fingir que ya hemos demostrado todo el teorema.
Una decisión escrita se conserva al fortalecer
p contiene 5↦1.
Filtros que contienen p
Su unión debe tener c(5)=1, porque ninguna condición del filtro puede contradecir p.
Fortalecimiento
Toda q≤p sigue conteniendo 5↦1 y mantiene esa garantía.
Bit libre
Si una condición no decide cinco, admite extensiones que ponen cero y extensiones que ponen uno. No fuerza ninguno de esos valores concretos.
Fuerza e información parcial se conectan en este ejemplo atómico.
La afirmación sobre extensiones genéricas usa la hipótesis habitual de existencia externa de genéricos por debajo de condiciones.
Garantizar una disyunción no elige necesariamente una rama
La condición vacía no decide el bit cero.
Alternativas
Hay extensiones que fijan cero a cero y otras que lo fijan a uno.
Disyunción garantizada
En toda extensión genérica, c es binaria y total.
Por eso se fuerza c(0)=0 o c(0)=1.Sin selección
La condición vacía no fuerza por separado c(0)=0 ni c(0)=1.No se sustituye la definición formal de forcing de una disyunción por una regla que exigiera elegir ya una rama.
Una garantía clásica de alternativas no determina un valor concreto.
Esto no contradice que cada sucesión total final tenga un bit definido en cero.
10. Conservar ordinales no obliga a conservar todos los cardinales
Para forcing por un conjunto sobre un modelo base adecuado de ZFC, la extensión genérica satisface ZFC y tiene los mismos ordinales. Se enuncia el teorema de extensión; demostrarlo requiere el aparato de nombres y forcing.
Un ordinal puede dejar de ser cardinal si aparecen funciones nuevas. Propiedades del poset, como la condición de cadena numerable, controlan esa posibilidad. La c. c. c. exige que toda antícadena sea numerable y preserva cardinales en el marco usual de forcing por conjuntos.
El forcing de una sucesión de Cohen es numerable
P son las funciones binarias de dominio finito incluido en N.
Codificar
Se puede escribir cada función mediante una lista finita de parejas de naturales. Hay numerablemente muchas listas finitas.
Antícadenas
Toda antícadena es un subconjunto de ese P numerable; por tanto es numerable.
Conservación
Así P satisface c. c. c. y el teorema de conservación correspondiente preserva cardinales. El teorema se usa, no se reemplaza por una comprobación finita de condiciones.
La propiedad estructural del poset aporta una garantía adicional.
Cuatro asignaciones distintas sobre dos coordenadas forman una antícadena finita: c. c. c. no significa ausencia de incompatibilidades.
Otro poset sí puede volver numerable un cardinal antiguo
Sea κ un cardinal infinito del modelo base. Usar funciones finitas de N a κ, ordenadas por extensión.
Totalizar
Los densos que exigen decidir cada n producen una función total f: N→κ.
Cubrir valores
Para cada α<κ, es denso exigir que α aparezca en la imagen: se añade una coordenada aún libre con ese valor.
Efecto
El genérico encuentra esos densos del modelo y f resulta sobreyectiva. Si κ era no numerable dentro, ahora es numerable en la extensión. Sus ordinales no cambiaron; apareció una función nueva.
Preservación de ordinales y preservación de cardinales son afirmaciones distintas.
Que M sea numerable desde fuera permite esta presentación sin contradecir lo que M consideraba no numerable.
11. La independencia del continuo necesita ambos lados y control de cardinales
CH afirma que el cardinal de los reales es ℵ₁. Añadir una sucesión nueva no demuestra por sí solo que haya más de ℵ₁ reales. Hay que contar cuántos se añaden y demostrar que los cardinales usados para comparar siguen siendo los adecuados.
Un forcing de muchas sucesiones de Cohen puede dar ¬CH, mientras L proporciona el lado con CH. La combinación produce independencia relativa a la consistencia de ZFC. Aquí se identifica la estrategia y sus teoremas necesarios, sin presentar el mecanismo de un bit como si fuera toda la demostración.
Muchas sucesiones distintas permiten superar ℵ₁
Sobre un modelo adecuado, usar condiciones binarias finitas en κ×N con κ=ℵ₂ del modelo.
Una sucesión por índice
Para cada α<κ, los bits de la fila α forman una sucesión cα al encontrar los densos de coordenadas.
Separar filas
Para α≠β se puede elegir una coordenada nueva y fijar bits distintos en esas filas. El requisito es denso, así que los genéricos producen κ sucesiones distintas.
Control necesario
Este poset satisface c. c. c., resultado cuya prueba usa herramientas adicionales. Al preservar ℵ₁ y κ=ℵ₂, hay al menos ℵ₂ reales en la extensión y CH falla.
El argumento usa cantidad de novedades y conservación de cardinales.
No se afirma aquí que el continuo sea exactamente κ sin añadir una prueba de la cota superior.
Qué concluyen juntos Gödel y Cohen
Suponer consistente ZFC.
Un lado
La construcción de L da consistencia relativa de ZFC+CH, de hecho con GCH.
Otro lado
La técnica de forcing aporta consistencia relativa de ZFC+¬CH.
Independencia
Si ZFC demostrara CH, el segundo lado sería inconsistente; si demostrara ¬CH, lo sería el primero. Bajo la hipótesis de consistencia, no demuestra ninguna alternativa.
La conclusión no elige una respuesta definitiva para cualquier universo posible.
La presentación con modelos transitivos numerables ayuda a visualizar; no se añade esa hipótesis fuerte como si se dedujera de Con(ZFC).
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Compatibilidad
¿Son compatibles p={(0,1),(2,0)} y q={(1,1),(2,0)}?
Entradas
p={(0,1),(2,0)} y q={(1,1),(2,0)} son funciones binarias finitas.Dominios
El dominio de p es {0,2} y el de q es {1,2}. Solo se solapan en dos.
Comprobar el solapamiento
Ambas asignan cero a la coordenada dos. No hay ningún conflicto.
Unión
r={(0,1),(1,1),(2,0)} es una función binaria finita.Orden
Con la convención de extensión, r≤p y r≤q.Es una extensión común.
Resultado
Son compatibles. Ninguna coordenada recibe dos valores distintos; no se exige que p o q extiendan ya a la otra.
Sí; la unión es una extensión común.
La unión no asigna dos valores distintos a ningún natural.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un conjunto denso
Prueba que D₅={p:5∈dom(p)} es denso.
Objetivo
Para probar densidad de D₅ debemos partir de cualquier condición p y encontrar q≤p que decida cinco.
Primer caso
Si 5∈dom(p), elegir q=p.Reflexividad da q≤p y ya está en D₅.Segundo caso
Si cinco no está, formar q=p∪{(5,0)}.También habría servido el bit uno.
Función
La coordenada era nueva, así que no se asignan dos valores a una entrada.
Condición y orden
q tiene dominio finito, es binaria y conserva p, por lo que q∈P y q≤p.
Conclusión
En los dos casos q∈D₅.La prueba cubre toda p y establece densidad, conservando cada decisión anterior.
D₅ es denso.
La extensión conserva cada decisión anterior.
Los símbolos que hemos usado
- M
- Modelo base; para la construcción externa por enumeración se supone transitivo y numerable.
- P
- Conjunto parcialmente ordenado de condiciones de forcing.
- q≤p
- q es más fuerte que p: contiene al menos la información fijada por p.
- p⊥q
- p y q son incompatibles: no admiten una condición más fuerte que ambas.
- D denso
- Para cada p∈P existe q≤p que pertenece a D.
- G
- Filtro que reúne condiciones coherentes y, si es M-genérico, encuentra los densos de M.
- M[G]
- Extensión obtenida al evaluar los nombres del modelo base usando G.
- p⊩φ
- p fuerza φ: la relación de forcing asegura φ en las extensiones genéricas pertinentes.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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