Antes de integrar necesitamos saber qué región estamos midiendo. Dibujaremos sus fronteras y una franja pequeña: su altura será la distancia entre las dos curvas. Después sumaremos esas franjas con una integral, cuidando cuándo cambia cuál está arriba.
Si necesitas repasar:
1. El área suma tamaños; la integral con signo puede cancelar
Una suma de altura por anchura aporta positivo sobre el eje y negativo debajo. La integral de f mide esa acumulación neta, que puede ser cero o negativa aunque la región tenga tamaño positivo.
El área respecto al eje es ∫|f(x)|dx bajo condiciones de integrabilidad. No suele coincidir con |∫f(x)dx|: tomar el módulo al final no recupera las partes que ya se cancelaron.
Dos triángulos de tamaños diferentes
Área entre y=x y el eje en [−2,1].
Debajo
De −2 a cero hay un triángulo de base dos y altura dos: área dos.
Encima
De cero a uno hay otro de base uno y altura uno: área un medio.
Comparar preguntas
Área total 5/2; integral neta −2+1/2=−3/2, cuyo módulo tampoco da 5/2.
La región se parte donde cambia el signo.
Cada área geométrica es no negativa.
Todo debajo del eje
Área entre y=−3 y el eje en [1,3].
Distancia
La altura geométrica es tres, no menos tres.
Anchura
Tres menos uno da dos.
Área
El rectángulo tiene área 3·2=6; la integral de la función vale −6.
Cambiar de interpretación cambia el signo usado.
El área no se vuelve negativa por estar bajo el eje.
2. Arriba menos abajo mide una distancia vertical
Si f y g son continuas en [a,b] y f≥g, una franja vertical tiene altura f(x)−g(x) y anchura pequeña Δx. Su área aproximada es [f(x)−g(x)]Δx.
Importa la ordenada mayor, no el valor absoluto ni el nombre f o g. La resta también funciona con las dos curvas negativas o a lados opuestos del eje.
La altura entre recta y parábola
Entre y=2x e y=x² en [0,2].
Orden
2x−x²=x(2−x)≥0 en ese intervalo.Franja
Su extremo superior está en 2x y el inferior en x².
Planteamiento
A=∫₀²(2x−x²)dx=[x²−x³/3]₀²=4/3.
No se integra solo la curva superior.
La altura es cero en las dos intersecciones y positiva entre ellas.
Restar una frontera negativa
Curvas y=−1 e y=−4 entre x=0 y x=2.
Cuál está arriba
−1 es mayor que −4.
Altura
−1−(−4)=3.Área
∫₀²3dx=6.
La resta produce la distancia positiva correcta.
Restar valores absolutos daría otra cuenta.
3. Las fronteras pueden venir dadas o salir de los cruces
Si se pide la región encerrada solo por dos curvas, resolvemos f(x)=g(x) y buscamos qué cruces delimitan zonas acotadas. Si se dan rectas verticales, esas rectas ya son fronteras aunque las curvas no se corten allí.
Puede haber ninguna región encerrada, varias regiones o una descripción que incluya fronteras adicionales. Antes de calcular comprobamos también dominios y singularidades: una solución algebraica excluida no es una intersección real de las gráficas.
Encontrar primero los extremos
Región encerrada por y=4−x² e y=x+2.
Igualar
4−x²=x+2, luego x²+x−2=(x+2)(x−1)=0.Cruces
x=−2 y x=1; las alturas son cero y tres respectivamente.
Orden
La diferencia 2−x−x²=(1−x)(x+2) es no negativa entre ambos.
La región se integra de −2 a uno con la parábola arriba.
Las coordenadas de los cruces son (−2,0) y (1,3).
Sin cruces pero con región bien delimitada
y=eˣ, y=0, x=0 y x=1.
Cruces
La exponencial nunca vale cero.
Fronteras dadas
Las dos verticales cierran los lados de la región.
Plantear
A=∫₀¹eˣdx=e−1.
No hacen falta dos intersecciones entre las curvas.
Las fronteras del enunciado determinan qué parte medimos.
4. Si cambia el orden, partimos antes de sumar
La fórmula general es A=∫|f−g|dx cuando esa función sea integrable. Localizamos ceros y singularidades de la diferencia y justificamos su signo en cada tramo.
Una intersección tangencial puede no cambiar el orden. No alternamos las fórmulas por costumbre. Tomar el módulo de la integral de un tramo solo sirve como atajo si la diferencia no cambia de signo dentro.
Un cruce interior produce dos integrales
Área entre y=x e y=−x en [−1,2].
Diferencia
x−(−x)=2x, negativa antes de cero y positiva después.Partir
A=∫ de −1 a cero de (−2x)dx+∫₀²2xdx.Sumar
Las partes valen uno y cuatro: total cinco.
El valor absoluto de la integral neta sería tres y perdería área.
El signo se mantiene dentro de cada tramo escogido.
Tocar no obliga a intercambiar
y=x² e y=0 en [−1,1].
Cruce
Solo coinciden en cero.
Signos
x²≥0 a ambos lados: la parábola sigue arriba.Área
∫ de −1 a uno de x²dx=2/3.
No hace falta cambiar el orden al pasar por cero.
Se mira el signo, no solo la existencia del cruce.
5. Una franja horizontal resta derecha menos izquierda
A veces resulta más sencillo escribir las fronteras como x=L(y) y x=R(y). Para una altura fija y, la franja mide R(y)−L(y). Integramos esa longitud entre las alturas inferior y superior.
Al despejar x cuidamos las ramas de raíces. Si cambia la frontera izquierda o derecha, también hay que dividir. Cambiar a dy no elimina la necesidad de describir correctamente la región.
Una parábola orientada hacia la derecha
Región entre x=y² y x=2y.
Alturas de cruce
y²=2y da y=0 y y=2.Orden horizontal
2y−y²=y(2−y)≥0: la recta es la frontera derecha.Integrar
A=∫₀²(2y−y²)dy=4/3.
La anchura es una diferencia de coordenadas x.
No se intercambian las palabras arriba/abajo con derecha/izquierda.
Dos ramas de una misma circunferencia
Disco x²+y²≤4.
Ramas
Para −2≤y≤2, la izquierda es −√(4−y²) y la derecha +√(4−y²).Anchura
La diferencia es 2√(4−y²).
Integral
A=∫ de −2 a dos de 2√(4−y²)dy=4π, coherente con radio dos.
Elegir solo la raíz positiva perdería media región.
La altura y recorre el diámetro completo.
6. Evaluar la primitiva y aplicar simetría a la altura correcta
Una vez planteada una altura continua buscamos su primitiva H y calculamos H(b)−H(a). Las constantes se cancelan. Elegimos sustitución, partes u otro método después del planteamiento geométrico.
Si la altura que integramos es par en [−a,a], duplicamos la mitad derecha. Una función impar tiene integral neta cero en un intervalo simétrico; su módulo puede tener área positiva.
Una región simétrica
Área entre y=4 e y=x².
Cruces
x²=4 da −2 y dos; la altura 4−x² es par y no negativa entre ellos.
Simetría
A=2∫₀²(4−x²)dx.Evaluar
2[4x−x³/3]₀²=2(8−8/3)=32/3.
La simetría reduce la cuenta a media región.
No se duplica otra vez después de integrar el intervalo completo.
Imparidad no significa área nula
Área entre y=x³ y el eje en [−1,1].
Integral neta
La imparidad da integral cero.
Altura geométrica
|x³| es par y no negativa.
Evaluar
A=2∫₀¹x³dx=1/2.
El área es un medio.
La simetría se aplicó a la función que realmente representa distancias.
7. Una región infinita puede tener área finita
Una región que se alarga sin fin o se acerca a una singularidad requiere una integral impropia: truncamos, calculamos y tomamos el límite. Puede converger o divergir.
Como el área suma magnitudes no negativas, sus divergencias no pueden compensarse. Con una singularidad interior revisamos cada lado por separado; no evaluamos una primitiva a través del punto ausente.
Una cola que sí suma un área finita
Región bajo y=1/x² para x≥1.
Truncar
A(R)=∫₁ᴿx⁻²dx=1−1/R.Límite
Cuando R→+∞, A(R)→1.Interpretar
Aunque la región tiene anchura infinita, las alturas decrecen lo suficiente.
El área total es uno.
El resultado no se deduce solo de que la curva se acerque al eje.
Otra cola que se acerca al eje pero diverge
Región bajo y=1/x para x≥1.
Truncar
A(R)=∫₁ᴿdx/x=lnR.Límite
lnR crece sin cota.
Comparar
Ambas curvas tienden a cero, pero sus áreas no tienen el mismo comportamiento.
El área es infinita.
Una altura que tiende a cero no garantiza convergencia de la suma.
8. Signos, cotas y unidades ayudan a comprobar
Un área geométrica no puede ser negativa. Si aparece un menos, revisamos orden de curvas y orientación de límites.
Si ambos ejes representan longitudes en una misma unidad, el área lleva unidades cuadradas. Si representan magnitudes diferentes, la integral tiene el producto de sus unidades y puede medir otra cosa. El dibujo orienta; los signos y la derivada de la primitiva justifican el valor exacto.
Comparar con un rectángulo que encierra la región
Entre y=2x e y=x², de cero a dos.
Máxima altura
2x−x²=1−(x−1)²≤1.Rectángulo
Anchura dos y altura uno dan área dos.
Comprobar
El resultado 4/3 es positivo y menor que dos.
La cota detectaría, por ejemplo, un resultado cuatro.
La altura máxima de la franja no es la altura máxima de la curva superior.
El producto de unidades tiene significado
Un caudal constante de tres litros por segundo durante cuatro segundos.
Altura y anchura
El eje vertical mide L/s y el horizontal s.
Integral
Tres por cuatro da doce.
Unidades
(L/s)·s=L: se han acumulado doce litros.
No se anuncian unidades cuadradas si los ejes no son dos longitudes.
La misma operación altura por anchura puede representar una magnitud distinta de superficie.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Recta y parábola
Área entre y=x e y=x².
Región
Buscamos la región encerrada solo por y=x e y=x².Cruces
x=x² equivale a x(x−1)=0: entradas cero y uno.Orden
En [0,1], x−x²=x(1−x)≥0: la recta está arriba.Altura e integral
A=∫₀¹(x−x²)dx.Evaluar
[x²/2−x³/3]₀¹=1/2−1/3=1/6.Comprobar
Es positivo y menor que el triángulo bajo y=x, cuya área es un medio.
Área 1/6.
Es positiva y menor que el área del triángulo bajo y=x.
EJEMPLO RESUELTO 2
Una recta que cruza el eje
Área entre y=x y el eje en [−1,1].
Distinguir la pregunta
Se pide área geométrica, así que usamos |x|.
Partir en el cambio de signo
En [−1,0], |x|=−x; en [0,1], |x|=x.Lado izquierdo
∫ de −1 a cero de (−x)dx=1/2.Lado derecho
∫₀¹xdx=1/2.Sumar magnitudes
El área total es uno.
Contrastar
La integral con signo de x en [−1,1] sería cero, por cancelación, y no responde a la superficie pedida.
Área 1.
La integral con signo de x en [−1,1] sería cero.
Los símbolos que hemos usado
- f(x),g(x)
- Alturas de las gráficas que limitan una región verticalmente.
- a,b
- Fronteras izquierda y derecha, con a<b.
- f(x)−g(x)
- Altura de una franja cuando f está por encima de g.
- A
- Área geométrica no negativa.
- ∫ₐᵇf(x)dx
- Integral definida con contribuciones positivas o negativas según f.
- R(y),L(y)
- Fronteras derecha e izquierda al integrar mediante franjas horizontales.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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