Un complejo a+bi es un punto del plano. Podemos localizarlo diciendo cuánto avanzamos por cada eje, o diciendo su distancia al origen y hacia dónde apunta. La forma polar usa esta segunda descripción y hace visibles los giros de una multiplicación.
Si necesitas repasar:
1. El mismo punto tiene componentes o distancia y dirección
El punto es (a,b): a es la parte real y b la parte imaginaria, que es un número real; bi es el término imaginario completo.
Si z≠0, un ángulo θ desde el semieje real positivo da su dirección.
Abreviamos cosθ+i sinθ como cisθ.
De las componentes a la distancia
Para z=−3+3√3 i.
Punto
Coordenadas (−3,3√3), segundo cuadrante.
Distancia
r=√(9+27)=6.Dirección
cosθ=−1/2 y sinθ=√3/2: θ=120°.
z=6cis120°.
6cos120°=−3 y 6sin120°=3√3.
La parte imaginaria no incluye la unidad i
Leer z=2−5i.
Componentes
Re z=2 e Im z=−5.Término
El término imaginario completo es −5i.
Distancia
|z|=√(4+25)=√29.
El punto del plano es (2,−5).
Una coordenada real −5 puede ser negativa; la distancia √29 no.
2. Una vuelta completa no cambia el punto; cero no fija dirección
Los ángulos θ y θ+360°k representan la misma dirección para cualquier entero k. En radianes se escribe θ+2πk. Coseno y seno repiten sus valores tras una vuelta.
Cuando se pida argumento principal usaremos Arg z en (−180°,180°], o (−π,π]. Es una convención declarada. El cero tiene módulo cero, pero ningún argumento propio: todas las direcciones con radio cero dan el mismo punto.
Dos argumentos para el mismo complejo
Comparar 6cis120° y 6cis(−240°).
Diferencia
120−(−240)=360°.Trigonometría
Coseno y seno coinciden tras esa vuelta.
Principal
En nuestra convención elegimos 120°.
Ambas escrituras representan el mismo número.
No se suman sus módulos por tener ángulos distintos.
El origen no apunta hacia ningún lado
Intentar asignar θ al complejo 0.
Módulo
r=0.Fórmula
0·cisθ=0 para cualquier θ.Conclusión
La fórmula no selecciona una dirección propia.
Arg 0 queda sin definir.
Decir que su argumento es obligatoriamente cero inventaría una dirección.
3. Los signos de ambas componentes deciden el cuadrante
Calculamos primero r y después buscamos cosθ=a/r y sinθ=b/r. Usar solo b/a no distingue direcciones opuestas: tienen la misma tangente.
En los ejes reconocemos la dirección directamente. Para otros puntos usamos el cuadrante y un ángulo de referencia, o una función de dos coordenadas como atan2 que tiene en cuenta ambos signos.
Una razón positiva también puede estar en el tercer cuadrante
Convertir −2−2i.
Módulo
√(4+4)=2√2.Signos
Ambas componentes son negativas: tercer cuadrante, no el primero.
Argumento
Un ángulo es 225°; el principal es −135°.
−2−2i=2√2 cis(−135°).
Usar 45° produciría 2+2i, el opuesto.
Un punto del eje no requiere dividir componentes
Convertir −3i y −4.
−3i
Punto (0,−3): módulo 3 y argumento principal −90°.
−4
Punto (−4,0): módulo 4 y argumento principal 180°.
Revisar
Seno y coseno de esos ángulos recuperan las componentes.
Los ejes también forman parte del plano complejo.
180° está incluido y −180° excluido en la convención elegida.
4. Multiplicar escala distancias y suma giros
Al distribuir, la parte real usa cosθ₁cosθ₂−sinθ₁sinθ₂ y la imaginaria sinθ₁cosθ₂+cosθ₁sinθ₂: son las fórmulas del ángulo suma.
Multiplicar por i, de módulo uno y argumento 90°, conserva longitud y gira un cuarto de vuelta antihorario. Si algún factor es cero, el producto es cero y no le asignamos un argumento.
Un giro que también se comprueba con i²
Multiplicar (2+i) por i.
Álgebra
i(2+i)=2i+i².Usar i²=−1
Resultado −1+2i.
Geometría
(2,1) pasa a (−1,2), mismo módulo √5 y giro de 90°.
Multiplicar por i no es solo intercambiar las coordenadas.
La nueva componente real lleva el signo opuesto de la antigua imaginaria.
Producto con ángulos conocidos
Multiplicar (√3+i)(−1+√3 i).
Formas polares
2cis30° y 2cis120°.
Multiplicar
4cis150°.
Binómica
4(−√3/2+i/2)=−2√3+2i.
Módulos se multiplican y ángulos se suman.
Distribuir da −√3+3i−i−√3=−2√3+2i.
5. Dividir deshace la escala y resta el giro del divisor
Si el divisor no es cero, 
para numerador no nulo. Si el numerador es cero, el cociente es cero sin argumento.
El inverso de r cisθ es (1/r)cis(−θ). En binómica también se escribe 
, porque multiplicar z por su conjugado da |z|².
Un cociente que termina en un eje
Dividir 4cis150° entre 2cis60°.
Módulo
4/2=2.Giro
150°−60°=90°.Forma binómica
2cis90°=2i.
Dividir resta el ángulo del denominador.
2i·2cis60°=4cis150° recupera el numerador.
El conjugado comprueba el inverso
Hallar 1/(2+i).
Conjugado
Multiplicamos por 2−i arriba y abajo.
Denominador
(2+i)(2−i)=4−i²=5.Resultado
(2−i)/5.
Su módulo es 1/√5 y su giro es el opuesto del divisor.
(2+i)(2−i)/5=5/5=1.
6. En una potencia entera repetimos la escala y el giro
Para n entero positivo, 
. Es la fórmula de De Moivre: resulta de multiplicar n veces. Para n=0 y z≠0 obtenemos uno; para n negativo usamos el inverso y también exigimos z≠0.
Cambiar θ por θ+360°k no altera una potencia entera, porque n veces esa vuelta sigue siendo un número entero de vueltas. Con exponentes no enteros hay que indicar una selección de rama; no se aplica como si diera automáticamente un único valor.
Un cubo sencillo por giro
Calcular (√3+i)³.
Polar
√3+i=2cis30°.Elevar
2³cis90°=8cis90°.Resultado
8i.
El módulo se eleva y el ángulo se multiplica.
El cubo binómico tiene parte real cero e imaginaria ocho.
Un resultado real negativo
Calcular (1−i)⁴.
Polar
√2 cis(−45°).
Potencia
(√2)⁴cis(−180°)=4cis(−180°).Binómica
−4.
El módulo final es 4, aunque el valor sea −4.
(1−i)²=−2i y (−2i)²=−4.
7. Para sumar volvemos a las componentes
No se suman módulos y argumentos para sumar complejos. Los vectores pueden reforzarse o cancelarse.
La desigualdad triangular |z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂| expresa que la distancia del resultado no supera la suma de longitudes. Binómica suele facilitar sumas; polar facilita productos, cocientes y potencias.
Las componentes imaginarias se cancelan
Sumar (1+i)+(1−i).
Reales
1+1=2.Imaginarias
1−1=0.Resultado
2, cuyo módulo es 2.
No da módulo 2√2 aunque cada sumando tenga módulo √2.
Las direcciones no eran iguales.
Puntos opuestos pueden sumar cero
Sumar 3cis60° y 3cis240°.
Direcciones
Difieren en 180°: son opuestos.
Componentes
La segunda tiene ambas componentes cambiadas de signo.
Resultado
La suma es cero, sin argumento propio.
No se obtiene módulo seis sumando las longitudes.
Se verifica 0≤3+3 en la desigualdad triangular.
8. Revisamos módulo, cuadrante y unidad angular
Al volver a binómica comprobamos r²=a²+b² y los signos del cuadrante. En un producto o cociente, el módulo también debe coincidir con el producto o razón de módulos iniciales.
No se suman grados con radianes sin convertir. Una diferencia de una vuelta conserva el complejo; una media vuelta cambia al opuesto si el módulo es el mismo. Las aproximaciones se señalan como tales.
Misma dirección frente a dirección opuesta
Comparar 3cis20°, 3cis380° y 3cis200°.
Una vuelta
380°−20°=360°: los dos primeros coinciden.Media vuelta
200°−20°=180°: el tercero es el opuesto.Módulo
Los tres tienen módulo 3.
Coincidir en módulo no basta para coincidir como número.
El giro comprueba lo que la longitud sola no determina.
Una cuenta en dos unidades compatibles
Multiplicar 2cis(π/3) por 3cis30°.
Convertir
π/3 rad=60°.Producto
Módulo 6 y ángulo 60°+30°=90°.Resultado
6i.
Primero se usa una sola unidad angular.
No se suma π/3+30 como si los números ya midieran lo mismo.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Producto polar
z₁ tiene módulo 2 y argumento 30°; z₂ módulo 3 y argumento 60°. Halla el producto en binómica.
Datos
r₁=2, θ₁=30°; r₂=3, θ₂=60°.Módulo
2·3=6.Giro
30°+60°=90°.Polar
6cis90°.
Binómica
6cos90°+6i sin90°=6i.Revisar
Parte real cero, módulo seis y dirección del eje imaginario positivo.
6i.
Su parte real es 0 y módulo 6.
EJEMPLO RESUELTO 2
Cociente polar
z₁ tiene módulo 8 y argumento 150°; z₂ módulo 2 y argumento 30°. Describe z₁/z₂.
Divisor
Su módulo 2 no es cero.
Módulo
8/2=4.Giro
150°−30°=120°.Polar
4cis120°.
Binómica
4(−1/2+i√3/2)=−2+2√3 i.Revisar
√(4+12)=4; signos de segundo cuadrante y argumento 120°.
Módulo 4, argumento 120°; −2+2√3 i.
El módulo de esa forma binómica es √(4+12)=4.
Los símbolos que hemos usado
- z=a+bi
- Forma binómica, con a,b reales e i²=−1.
- r=|z|
- Módulo no negativo, igual a √(a²+b²).
- θ
- Un argumento de z≠0, medido en grados o radianes.
- cis θ
- Abreviatura de cos θ+i sin θ.
- Arg z
- Argumento principal elegido en un intervalo de una vuelta.
- z̄=a−bi
- Conjugado de z, reflejado respecto al eje real.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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