Dominio, crecimiento y extremos en una gráfica

En el dibujo, la función empieza en x = 0 y termina en x = 6, con ambos extremos llenos e incluidos. Hay una salida para cada entrada intermedia, así que el dominio es [0; 6]. El intervalo se lee «desde cero hasta seis, incluidos».

Para leer dominio proyectamos la gráfica sobre el eje horizontal. Un punto vacío excluye esa entrada si no hay otro punto de la función en la misma vertical; uno lleno la incluye. La ventana visible de una fórmula definida en todo ℝ no limita su dominio por sí sola.

Si se da una fórmula y un dominio declarado, usamos los dos. Una raíz real o un denominador pueden excluir entradas antes de estudiar máximos o crecimiento.

En el primer dibujo las alturas van de uno a tres, incluidos, y aparecen todas las intermedias. Su imagen o recorrido es [1; 3]. Miramos el eje vertical, no el horizontal. El dominio [0; 6] y la imagen [1; 3] describen conjuntos distintos.

Para una fórmula, buscamos qué salidas se obtienen al recorrer todas las entradas admitidas. No basta conocer menor y mayor salida para rellenar siempre un intervalo: si el dominio es discreto o hay saltos, pueden faltar valores intermedios.

Una salida es un número del recorrido; un punto de gráfica es una pareja. Por ejemplo, en (2; 3), dos es entrada y tres salida.

Aquí llamaremos creciente en un tramo a que x₁ < x₂ implique f(x₁) < f(x₂) dentro de él.

Si permite igualdad se habla de no decreciente o no creciente; un tramo constante mantiene exactamente la misma salida.

En el dibujo inicial sube de cero a dos, permanece constante de dos a cuatro y baja de cuatro a seis. Leemos siempre avanzando en x. Decir que una curva es creciente no significa que sus salidas sean positivas.

Una tabla con algunos valores ordenados puede comprobar esos puntos, pero no demuestra el crecimiento en todos los valores intermedios sin otra información sobre la regla o la gráfica completa.

Un máximo absoluto es una salida de la función que no es menor que ninguna otra salida del dominio. Un mínimo absoluto no es mayor que ninguna otra. En el dibujo inicial, el máximo es tres y se alcanza en todas las entradas de [2; 4]; el mínimo es uno y se alcanza en cero y seis.

«Máximo tres» nombra la altura. «Se alcanza en x = 2» nombra una entrada. Un extremo puede aparecer en varias entradas o en todo un tramo, y no tiene que ser una punta aislada.

Un extremo local compara solo con entradas cercanas. Puede haber un pico local que no sea el mayor de todo el dominio. El tercer ejemplo dibuja dos picos de alturas distintas para separar esas dos ideas.

En f(x) = x con 0 < x ≤ 2, las salidas se acercan a cero desde arriba, pero ninguna es cero. Cero es la mayor cota inferior, llamada ínfimo, y no es mínimo porque no aparece como salida.

Una cota inferior puede ser cualquier número que no supere las salidas; por ejemplo, −1 también es cota inferior aquí. El ínfimo es la más ajustada de esas cotas. De forma simétrica, el supremo es la menor cota superior y solo es máximo si se alcanza.

Los extremos abiertos importan aunque el dibujo esté muy cerca de un punto. Un punto vacío mantiene la exclusión, no la sustituye por una aproximación visual.

La parábola completa y = x² tiene mínimo cero, pero al dejar solo −1 ≤ x ≤ 2 ese mínimo sigue disponible y el máximo pasa a ser cuatro en x = 2. La función completa no tenía máximo; el tramo cerrado sí.

Si se retira la entrada que alcanzaba un extremo, puede desaparecer ese extremo. Si el dominio tiene dos tramos, revisamos los dos y comparamos sus salidas, sin rellenar automáticamente el hueco entre ellos.

Un cero es una entrada donde f(x) = 0, por tanto un corte o contacto con el eje horizontal. Las entradas con f(x) > 0 quedan por encima y las que tienen f(x) < 0, por debajo. En un cero la salida no es positiva ni negativa.

Entre ellos la salida es negativa; fuera es positiva. La curva puede estar debajo del eje y subir en parte de ese tramo: signo y crecimiento se leen por separado.

Si la fórmula se puede factorizar, los signos de factores justifican los intervalos. Un dibujo aproximado por sí solo puede no resolver un corte cercano al eje.

Para una regla podemos demostrar el crecimiento sin calcular derivadas.

Por tanto toda pareja ordenada conserva ese orden en las salidas.

Si ambas entradas son no negativas y distintas, es positiva. Si son no positivas y x₂ > x₁, la suma es negativa y la diferencia de salidas negativa: la función decrece en esa rama.

Esto explica por qué mirar solo dos alturas o el signo de f no basta para una afirmación global. La justificación usa las condiciones de todas las entradas del tramo.

Primero nombramos dominio e imagen. Después intervalos de crecimiento, decrecimiento o constancia. Añadimos ceros y signos, y extremos con su valor y sus entradas. Cada afirmación responde a una pregunta diferente.

Comprobamos los extremos abiertos y cerrados, el dominio declarado y si la gráfica es una regla exacta o una medición aproximada. Si solo vemos una ventana o algunos datos, no afirmamos un comportamiento global que no se haya dado o demostrado.