Estimación e intervalos de confianza

X̄ es una regla que promedia datos para estimar μ. Antes de recogerlos es aleatoria; después obtenemos x̄, un número concreto. Lo mismo ocurre con p̂, la proporción muestral usada para aproximar una proporción poblacional p.

Insesgado significa que la esperanza del estimador coincide con el parámetro, no que cada muestra acierte. Su error cuadrático medio es varianza más sesgo al cuadrado. Consistencia describe acercamiento en probabilidad al parámetro al crecer n; no se deduce de que una muestra concreta haya quedado cerca.

El procedimiento calcula límites L y U a partir de la muestra. Bajo sus hipótesis, P(L≤θ≤U)=1−α, exactamente o de forma aproximada según el método. θ es el parámetro fijo; los límites cambian. Un nivel 95 % significa una tasa de cobertura cercana a 95 % al repetir el procedimiento muchas veces.

Después de observar una muestra, su intervalo ya quedó fijado y contiene o no al parámetro. En esta interpretación frecuentista no se convierte ese parámetro fijo en una variable con probabilidad 0,95 dentro del intervalo observado. Tampoco el nivel dice que dentro estén el 95 % de personas: se está estimando una característica de la población.

Para observaciones independientes con la misma distribución normal y desviación poblacional conocida σ>0, (X̄−μ)/(σ/√n) es normal estándar. Elegimos z* con área central 1−α y despejamos μ. El intervalo observado es x̄±z*σ/√n.

Con el cuantil exacto, el método es exacto bajo ese modelo. Para poblaciones no normales puede usarse aproximadamente por el teorema central del límite si el diseño y los momentos lo permiten. σ conocida es un dato poblacional, no la desviación s calculada de esa misma muestra.

Con σ desconocida y muestra independiente e idénticamente normal, usamos s con divisor n−1 y el cuantil t de n−1 grados de libertad: x̄±t*s/√n. Los grados de libertad reflejan que las n desviaciones respecto a la media suman cero: una queda determinada por las otras.

t incorpora la incertidumbre de estimar la escala y tiene colas más amplias que la normal para muestras pequeñas. No se cambia σ por s conservando automáticamente el mismo valor crítico. Fuera del modelo normal, el uso aproximado necesita justificar tamaño, forma y dependencia.

Para observaciones Bernoulli independientes, el intervalo elemental de Wald es p̂±z*√[p̂(1−p̂)/n]. Es una aproximación cuando hay suficientes éxitos y fracasos. Aquí la variable de interés es una proporción, no una media con una σ poblacional que podamos copiar del caso anterior.

Wald puede tener cobertura deficiente cerca de cero o uno y dar límites fuera del rango válido. Métodos como Wilson o intervalos binomiales exactos requieren otro procedimiento. Que una cuenta sea fácil y simétrica no garantiza su nivel de cobertura en todos los casos.

Su anchura es 2M. Cambiar la media mueve el centro sin cambiar M si mantenemos σ,n y nivel. Mayor dispersión o mayor confianza requieren un margen mayor.

Aumentar n reduce M según la raíz, no en proporción directa a n. Un intervalo estrecho puede seguir siendo inadecuado si ignora sesgo o dependencia. Anchura y cobertura del procedimiento se revisan con sus hipótesis.

Para un margen deseado M≤E, con E>0, σ conocida y el método normal elegido, z*σ/√n≤E equivale a n≥(z*σ/E)². Como n cuenta observaciones, tomamos el entero superior que cumpla la cota.

Para reducir el margen por un factor c>1, con nivel y σ fijos, multiplicamos n por c². El diseño puede cambiar el error estándar: conglomerados, ponderaciones o fracción de muestreo grande necesitan incorporarse a la planificación.

Un intervalo para μ se estrecha al acumular información sobre el centro. Una observación nueva sigue variando con escala σ aunque ya conozcamos μ muy bien. Un intervalo de predicción debe incluir además esa variación individual.

Con normalidad, independencia y σ conocida, Y nueva menos X̄ tiene varianza σ²(1+1/n); de ahí un intervalo de predicción x̄±z*σ√(1+1/n). Un intervalo de tolerancia plantea otra pregunta: cubrir una proporción de la población con confianza prefijada. No se obtienen los tres objetos cambiando la etiqueta del mismo intervalo.

Indicamos población, selección, tamaño, respuesta, parámetro, nivel y método. Dependencia, cobertura incompleta y errores de medición pueden romper las hipótesis de un intervalo calculado como si hubiera datos independientes bien medidos.

Comprobamos centro y margen, conservamos precisión hasta el final y declaramos las aproximaciones. Más cifras decimales o un nivel nominal mayor no incorporan automáticamente fuentes de error que no aparecen en el modelo.