Una forma bilineal recibe dos vectores y devuelve un número. Una forma cuadrática usa el mismo vector dos veces y produce cuadrados y términos cruzados. Aprenderemos a leer su matriz, reconocer qué signos puede tomar y cambiar coordenadas sin confundirla con una aplicación lineal.
Si necesitas repasar:
1. Bilineal significa lineal en cada argumento cuando el otro está fijo
Las dos entradas son vectores y la salida un escalar. No confundimos esta aplicación de dos entradas con el operador lineal v↦Av.
No toda bilineal es producto interior: para eso también necesitaríamos simetría y positividad definida.
Una matriz que distingue el orden de los argumentos
A=[[1,2],[0,3]]. Compara β(e₁,e₂) y β(e₂,e₁).
Primera entrada
e₁ᵀAe₂ selecciona A₁₂=2.Orden contrario
e₂ᵀAe₁ selecciona A₂₁=0.Conclusión
Es bilineal, pero no simétrica.
Intercambiar vectores puede cambiar la salida.
Las dos condiciones de linealidad no obligan a simetría.
Una bilineal simétrica que no es producto interior
β(u,v)=u₁v₁−u₂v₂.
Matriz
diag(1,−1), real simétrica.
Vector de prueba
β((0,1),(0,1))=−1.Positividad falla
No puede ser una longitud al cuadrado ni un producto interior.
Simétrica no significa definida positiva.
La forma sigue siendo una bilineal perfectamente válida; lo que falla es esa estructura adicional de medida.
2. Usar dos veces el mismo vector elimina toda parte antisimétrica
Como el escalar vᵀKv es igual a su traspuesto y Kᵀ=−K, también es igual a su negativo y vale cero.
Así q depende solo de S. Podemos recuperar la bilineal simétrica mediante polarización: β_S(u,v)=[q(u+v)−q(u)−q(v)]/2. No recuperamos la parte antisimétrica que se perdió al repetir la entrada.
Dos matrices con la misma cuadrática
A=[[1,2],[0,3]]. Calcula S y q.
Promediar con traspuesta
S=[[1,1],[1,3]].Cuadrática
Ambas dan q(x,y)=x²+2xy+3y².Polarización
Para e₁,e₂: [q(1,1)−q(1,0)−q(0,1)]/2=(6−1−3)/2=1, entrada cruzada de S.
q conserva S, no las entradas cruzadas originales dos y cero por separado.
Las dos matrices pueden representar bilineales distintas con la misma cuadrática.
Una forma cuadrática cero no obliga a bilineal cero
K=[[0,1],[−1,0]].
Bilineal
β(u,v)=u₁v₂−u₂v₁ y β(e₁,e₂)=1.Misma entrada
q(x,y)=xy−yx=0 para todo vector.Información perdida
La cuadrática es nula aunque β no lo sea.
La polarización solo devuelve la parte simétrica, aquí cero.
Este argumento usa escalares reales, donde dos no es cero; otras características requieren otra formulación.
3. Cada término cruzado se reparte en dos entradas simétricas
La matriz simétrica [[a,b],[b,c]] produce ax²+2bxy+cy². El coeficiente de xy recibe b de cada lado de la diagonal. Por eso escribimos la mitad del coeficiente mixto en A₁₂ y A₂₁.
En más variables, Aᵢᵢ da el coeficiente de xᵢ² y 2Aᵢⱼ el de xᵢxⱼ. Reconstruir vᵀAv es una comprobación directa. Colocar el coeficiente mixto entero en ambas entradas duplicaría la expresión original.
Construir una matriz de dos variables
q=4x²+6xy+5y².
Diagonal
Cuatro y cinco.
Cruce
Seis dividido entre dos da tres en ambas entradas.
Matriz
A=[[4,3],[3,5]]; desarrollar da 4x²+3xy+3yx+5y².
La matriz simétrica tiene entradas cruzadas tres.
No son seis: el desarrollo suma las dos posiciones.
Tres variables y signos distintos
q=x²+4xy−2xz+3y²+6yz+2z².
Cuadrados
Diagonal (1,3,2).
Pares
A₁₂=2, A₁₃=−1, A₂₃=3, y las posiciones simétricas iguales.Matriz
A=[[1,2,−1],[2,3,3],[−1,3,2]].
Cada cruce se identifica por su par de variables.
El signo negativo de xz se conserva en las dos entradas correspondientes.
4. La clasificación habla de todos los vectores, no solo de los ejes
Semidefinida positiva exige q(v)≥0 para todos; puede tener ceros no triviales. Las versiones negativas invierten los signos. Indefinida significa que toma valores positivos y negativos.
Para probar positividad necesitamos un argumento general. Para refutarla basta un vector permitido que viole la condición. Un cero no trivial refuta positividad estricta, pero no distingue por sí solo entre una forma semidefinida y una indefinida.
Positiva estricta frente a semidefinida
Compara q₁=x²+y² y q₂=x².
q₁
Si (x,y)≠0, algún cuadrado es positivo: q₁>0.q₂
Siempre es ≥0, pero q₂(0,1)=0.Clasificar
q₁ es definida positiva; q₂ es semidefinida positiva y no estricta.
La condición sobre todos los vectores no nulos separa los dos casos.
Probar solo el eje x no habría detectado el cero no trivial de q₂.
Una forma que cambia de signo
Clasifica q=2xy.
Valor positivo
q(1,1)=2.Valor negativo
q(1,−1)=−2.Ceros también
q(1,0)=0, pero los dos valores anteriores ya prueban que es indefinida.
Es indefinida.
Encontrar un cero aislado no habría bastado para esa clasificación; hacen falta ambos signos o un criterio equivalente.
5. El cambio de una forma es por congruencia y conserva los signos posibles
La transformación es congruencia. Como P recorre todos los vectores originales, conserva el hecho de tomar solo signos no negativos, solo no positivos o ambos.
Para A simétrica real, el teorema espectral permite elegir P ortogonal y obtener una diagonal de autovalores reales.
Un cambio invertible general no conserva necesariamente los autovalores numéricos, aunque sí la inercia.
Una sustitución no ortogonal
q=x²−2y², con x=u+v, y=v.
Desarrollar
q=(u+v)²−2v²=u²+2uv−v².Matriz nueva
[[1,1],[1,−1]]=Pᵀdiag(1,−2)P, con P=[[1,1],[0,1]].Signos
Sigue tomando ambos signos; sus autovalores ahora son ±√2, distintos de uno y menos dos.
El cambio conserva indefinición, no los valores propios concretos.
La fórmula de semejanza P⁻¹AP sería otra operación, correspondiente a un operador.
Una diagonalización ortogonal positiva
q=3x²+4xy+3y².
Matriz
A=[[3,2],[2,3]] tiene direcciones propias (1,1) y (1,−1), con valores cinco y uno.
Coordenadas ortonormales
u=(x+y)/√2, v=(x−y)/√2.Forma diagonal
q=5u²+v².
La positividad queda visible en las nuevas coordenadas.
El cambio es invertible; u=v=0 equivale a x=y=0.
6. La forma canónica real conserva cuántos signos hay, con coeficientes uno, menos uno o cero
Después de diagonalizar, cada término λᵢuᵢ² con λᵢ≠0 se reescala mediante ξᵢ=√|λᵢ|uᵢ. Queda +ξᵢ² o −ξᵢ². Las coordenadas con coeficiente cero permanecen ausentes.
La ley de inercia de Sylvester afirma que la cantidad de coeficientes positivos, negativos y nulos no cambia bajo ningún cambio real invertible. Escribiremos inercia (p,n,z). Los coeficientes exactos y los autovalores pueden cambiar; esas tres cantidades no.
Normalizar una forma positiva
Parte de q=5u²+v².
Reescalar
ξ=√5u, η=v.Canónica
q=ξ²+η².Inercia
Dos positivos, cero negativos, cero nulos: (2,0,0).
La escala cinco no añade una dirección: sigue habiendo dos.
El cambio es invertible porque √5 no es cero.
Un signo nulo en tres dimensiones
Normaliza q=4u²−9v²+0w².
Variables nuevas
ξ=2u, η=3v, ζ=w.Forma
q=ξ²−η² y ζ no aparece.Inercia
(1,1,1); la dirección ζ está en el núcleo de la matriz.
Una positiva, una negativa y una dirección degenerada.
En una forma indefinida hay además combinaciones con valor cero que no son del núcleo; veremos esa diferencia al final.
7. Completar cuadrados también diagonaliza, conservando las compensaciones
Si un coeficiente de cuadrado no es cero, agrupamos su variable con los términos mixtos y completamos un cuadrado. La parte que añadimos debe restarse para mantener la igualdad. El cambio se declara y comprobamos que sea invertible.
Una suma de cuadrados con coeficientes positivos es no negativa. Para positividad estricta, sus ceros simultáneos deben obligar al vector cero. Si la diagonal inicial tiene ceros pero hay cruces, podemos cambiar primero de variables; no dividimos por un pivote nulo.
La misma positividad sin calcular autovalores
Completa cuadrados en q=3x²+4xy+3y².
Agrupar
3(x+2y/3)²=3x²+4xy+(4/3)y².Compensar
q=3(x+2y/3)²+(5/3)y².Único cero
Ambos coeficientes positivos; para anularlos hace falta y=0 y después x=0.
Es definida positiva.
La compensación 3−4/3=5/3 es esencial; no se pierde al introducir el cuadrado.
Cruce con diagonal inicial cero
Transforma q=2xy sin dividir por un coeficiente x² inexistente.
Identidad
2xy=[(x+y)²−(x−y)²]/2.Variables
u=x+y, v=x−y; la inversa es x=(u+v)/2, y=(u−v)/2.Diagonal
q=(u²−v²)/2; una escala adicional da un cuadrado positivo y otro negativo.
La forma es indefinida y no degenerada.
El cambio invertible creó una diagonal útil sin forzar un paso con división por cero.
8. Los menores iniciales sirven para positividad definida; semidefinitud necesita más
Para A real simétrica, Sylvester caracteriza positividad definida por menores principales iniciales estrictamente positivos: las esquinas superiores izquierdas de tamaños uno a n. El determinante completo positivo por sí solo no basta.
Para semidefinitud positiva se requieren todos los menores principales no negativos, o un criterio espectral equivalente. No basta cambiar > por ≥ solo en los iniciales. Principal significa elegir el mismo conjunto de índices de filas y columnas, no cualquier menor rectangular.
Aplicar el criterio estricto
A=[[3,2],[2,3]].
Primer menor
Tres, positivo.
Segundo
detA=9−4=5, positivo.Conclusión
Como A es simétrica y ambos iniciales son positivos, la forma es definida positiva.
Coincide con autovalores cinco y uno y con completar cuadrados.
La simetría se revisa antes de aplicar este criterio a una forma.
El falso criterio no estricto con solo iniciales
A=diag(0,−1).
Iniciales
El de tamaño uno vale cero y el determinante también cero.
Vector que refuta
q(0,1)=−1, así que no es semidefinida positiva.Menor principal omitido
El índice {2} da el menor −1, que sí detecta el fallo.
No se puede generalizar el criterio estricto cambiando solo sus signos.
La condición de todos los menores principales evita esa omisión.
Determinante positivo sin positividad
A=diag(−1,−2).
Determinante
Dos, positivo.
Signos de la forma
q=−x²−2y²<0 para todo vector no nulo.Primer menor
Es −1 y falla el criterio de positividad.
La forma es definida negativa.
El determinante multiplica los signos; dos negativos pueden producir un producto positivo.
9. Un vector de valor cero no siempre es una dirección del núcleo
Para A simétrica, degeneración significa kerA no trivial, equivalente a algún coeficiente nulo en su forma canónica. Si q es semidefinida positiva, diagonalizar con coeficientes no negativos muestra que q(v)=0 obliga Av=0. En una indefinida pueden cancelarse cuadrados de signos opuestos sin que Av sea cero.
Los niveles q=c revelan esa estructura. x²+2y²=1 es una elipse; x²−y²=1 una hipérbola. Los gráficos ayudan a interpretar los signos, pero la clasificación necesita los argumentos algebraicos anteriores. Trabajamos sobre ℝ; el orden y los signos no se trasladan de igual forma a ℂ.
Valor cero por degeneración
q=x² con A=diag(1,0).
Cero de la forma
q(x,y)=0 implica x=0.Núcleo
A(0,y)=(0,0), de modo que todos esos ceros pertenecen al núcleo.
Dimensión
La dirección vertical es degenerada: inercia (1,0,1).
Aquí los ceros no triviales describen exactamente el núcleo.
La semidefinitud impide cancelaciones entre términos de signos opuestos.
Valor cero por cancelación y sin degeneración
q=2xy con A=[[0,1],[1,0]]. Usa v=(1,0).
Cuadrática
q(v)=0.Aplicación de matriz
Av=(0,1), que no es cero.Determinante
detA=−1, no nulo; su núcleo es trivial pese a ese valor cero de q.
Un vector isotrópico no es necesariamente un vector del núcleo.
La forma es indefinida: la cancelación en coordenadas diagonales puede dar cero sin una dirección degenerada.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Reconocer una forma positiva
Clasifica q(x,y)=2x²+2xy+2y².
Matriz
q=2x²+2xy+2y² tiene A=[[2,1],[1,2]], porque el cruce se reparte en dos unos.
Polinomio
(t−2)²−1=(t−1)(t−3).Signos propios
Uno y tres son positivos; por el teorema espectral, la forma es definida positiva.
Coordenadas
u=(x+y)/√2 y v=(x−y)/√2 dan q=3u²+v².Único cero
u=v=0 implica x=y=0; fuera de ese vector la forma es positiva.
Comprobación directa
q=x²+y²+(x+y)²; los dos primeros cuadrados ya dan positividad estricta para un vector no nulo.
Es definida positiva.
Los menores iniciales son dos y det A=4−1=3, ambos positivos, coherentes con Sylvester.
EJEMPLO RESUELTO 2
Una forma indefinida
Clasifica q=x²−y².
Matriz
q=x²−y² tiene A=diag(1,−1).Positivo
q(1,0)=1.Negativo
q(0,1)=−1.Clasificación
Toma ambos signos y es indefinida; inercia (1,1,0).
Sin degeneración
detA=−1, así que el núcleo es trivial.Cero que no es núcleo
q(1,1)=0, pero A(1,1)=(1,−1)≠0.Ese cero se debe a cancelación de signos.
Es indefinida.
Los autovalores uno y menos uno confirman ambos signos. El determinante es −1 y A no tiene núcleo no trivial.
Los símbolos que hemos usado
- β(u,v)
- Forma bilineal real, lineal por separado en los dos argumentos.
- A
- Matriz de β en una base: β(u,v)=uᵀAv en coordenadas.
- q(v)
- Forma cuadrática obtenida al evaluar el mismo vector dos veces.
- Aᵀ
- Traspuesta de A.
- PᵀAP
- Matriz transformada por cambio de coordenadas x=Pu.
- Inercia (p,n,z)
- Cantidad de coeficientes positivos, negativos y nulos de una diagonal canónica.
- Menor principal
- Determinante de una submatriz que usa el mismo conjunto de índices en filas y columnas.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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