Muestreo y distribuciones muestrales

La población objetivo, el periodo y la unidad se declaran antes de calcular. Una muestra contiene las unidades observadas, y cada dato es el valor obtenido de una unidad. La palabra muestra no garantiza representatividad: el mecanismo puede seleccionar unas unidades más que otras.

Iid significa independencia y distribución común de las observaciones. No se obtiene automáticamente por tener muchas filas. Selección sin reemplazo, observaciones agrupadas, series temporales y participación voluntaria pueden requerir otros modelos.

X̄ es una función de variables aleatorias; antes de seleccionar, también es aleatoria. Tras observar x₁,…, xₙ, el valor x̄ es un número. El parámetro μ del modelo permanece fijo al repetir el muestreo frecuentista.

La distribución muestral de X̄ reúne una media por cada muestra posible, con sus probabilidades. No es el histograma de los datos de una sola muestra. El dibujo enumera todas las selecciones de dos valores sin reemplazo de una población pequeña.

Si cada observación tiene varianza finita σ², independencia anula covarianzas y Var(ΣXi)=nσ². Al dividir por n, la varianza queda σ²/n.

El error estándar es la desviación de esa distribución muestral: σ/√n. La σ individual no baja por recoger más observaciones. Lo que se vuelve más preciso es el promedio. Se distingue el error estándar conocido de su estimación S/√n cuando σ no se conoce.

Copias muy parecidas con covarianza positiva pueden aportar menos información que observaciones independientes.

En muestreo aleatorio simple sin reemplazo de N valores fijos, sea Spop²=Σ(yi−μpop)²/(N−1).

La corrección depende de este diseño y de ese denominador poblacional; no se añade por rutina a un modelo iid con reemplazo.

Si Xi son normales iid N(μ, σ²), su media es exactamente N(μ, σ²/n) para cada n. Con σ conocida y positiva, Z=(X̄−μ)/(σ/√n) es exactamente normal estándar.

Para otras leyes iid con varianza finita positiva, el TCL ofrece aproximación asintótica. La calidad depende de la ley y de los sucesos considerados. Declarar muestra grande o conocer σ no convierte esa aproximación en una igualdad exacta.

Una vez conocidos n−1, el último queda fijado.

Bajo iid de segundo momento finito, EQ=nσ²−nVar(X̄)=(n−1)σ².

La ley exacta de Q y la independencia de media y residuos necesitan condiciones adicionales; el denominador por sí solo no las proporciona.

Una χ²ν es suma de cuadrados de ν normales estándar independientes. Para n normales iid, una transformación ortogonal separa la dirección (1,…,1)/√n de n−1 contrastes perpendiculares. La densidad normal estándar conjunta se conserva y factoriza en esas nuevas coordenadas.

La primera coordenada corresponde a la media; las otras producen Q/σ²=(n−1)S²/σ² de ley χ²n−1, y son independientes de la primera. Así X̄ y S² son independientes bajo normalidad. Sin normalidad, no se deduce esa independencia de ortogonalidad solamente.

Si Z es normal estándar y W independiente de ley χ²ν, la razón Z/√(W/ν) tiene ley tν.

La t tiene colas más pesadas que la normal debido al denominador aleatorio. Se aproxima a la normal al crecer ν. La expresión contiene μ desconocida: es un pivote para inferencia, no un estadístico calculable solo con la muestra y sin parámetros.

Aumentar n puede concentrar la estimación alrededor de la media de la población seleccionada, aunque esa no sea la objetivo. Errores de cobertura, no respuesta y dependencia deben tratarse en el mecanismo, no con una raíz de n aplicada sin más.

Al informar un error estándar se declara si es conocido o estimado, y si la ley usada es exacta o aproximada. Una simulación comprueba el comportamiento bajo sus supuestos; no demuestra que el mecanismo real cumpla esos supuestos.