Antes de calcular una probabilidad hay que decidir qué cuenta como resultado. Sacar una bola concreta y observar solo su color no son la misma descripción: una agrupa resultados de la otra. Empezaremos con dibujos y construiremos después el modelo (Ω, Σ, P), para que cada símbolo responda a una pregunta que ya entendemos.
1. Un resultado es lo que ocurre; un suceso reúne resultados que nos sirven
Un experimento aleatorio tiene varios resultados contemplados por el modelo y no sabemos cuál se observará. Ω es el conjunto de resultados elementales. Un suceso A es un subconjunto admisible de Ω: ocurre si el resultado observado pertenece a A.
Decir «sale par» reúne varias caras. Con dos dados distinguimos primer y segundo dado: el resultado completo es un par ordenado (i, j). La suma es una observación que agrupa pares; su valor por sí solo no tiene por qué ser equiprobable con las demás sumas.
Leer el dado antes de hacer una fracción
Un dado numerado de 1 a 6; A=obtener par.
Resultados
Ω={1,2,3,4,5,6}.Seleccionar
A={2,4,6} reúne tres resultados.Observar
Si sale 4, A ocurre; si sale 5, A no ocurre.
A es un suceso con tres resultados.
Todavía no hemos afirmado que el dado sea justo: describir posibilidades y asignar probabilidades son dos pasos.
Elegir el detalle necesario
En dos dados, pregunta si el primero es mayor que el segundo.
Usar parejas
(5,2) satisface la pregunta y (2,5) no.
Intentar solo sumas
Ambos dan 7, así la suma no permite distinguirlos.
Modelo
Conservamos Ω={1,…,6}×{1,…,6} para poder formular ese suceso.
La descripción debe retener la información de la pregunta.
Agrupar puede ser útil, pero no debe borrar el detalle que luego necesitamos.
2. La sigma álgebra decide qué preguntas están definidas
Σ es una familia de subconjuntos de Ω que contiene Ω, es cerrada por complementos y por uniones numerables. De ahí salen ∅ y las intersecciones numerables por las leyes de De Morgan. Así podemos combinar preguntas con «no», «o» e «y» dentro del modelo.
En un espacio finito suele elegirse toda la colección de subconjuntos, pero también se puede observar solo una partición. En el continuo usamos, por ejemplo, conjuntos borelianos o una completación de Lebesgue; no se afirma que todos los subconjuntos arbitrarios tengan probabilidad asignada.
Un sensor solo distingue grupos
Ω={a, b, c, d}, A={a, b}, Σ={∅, A, Aᶜ, Ω}.
Complementos
El complemento de A es {c, d}; ambos están en Σ.
Uniones
Cualquier unión de estos cuatro conjuntos sigue siendo uno de los cuatro.
Pregunta no disponible
{a} no está en Σ: el modelo no distingue a de b mediante sucesos.
Σ es una sigma álgebra válida, aunque no contenga todos los subconjuntos.
No definir P({a}) aquí no equivale a asignarle probabilidad cero.
Una familia que parece razonable pero no cierra
Ω={a, b, c}; se propone Σ={∅, Ω,{a}}.
Tomar complemento
Ω∖{a}={b, c}.Comparar
{b, c} no está en la familia propuesta.
Conclusión
Falla una de las condiciones necesarias.
No es una sigma álgebra.
No basta incluir el vacío y el total: las operaciones indicadas también deben permanecer dentro.
3. Los axiomas asignan peso total uno y suman piezas disjuntas
Una probabilidad P sobre Σ asigna valores no negativos, P(Ω)=1 y P(⋃Aₙ)=ΣP(Aₙ) para sucesos disjuntos dos a dos. Esta aditividad es numerable. El modelo completo es el triple (Ω, Σ, P). El total uno no dice que todos los resultados tengan igual peso.
P(∅)=0: sumar numerablemente copias del vacío no puede producir una masa positiva finita.
Por tanto P(Aᶜ)=1−P(A) y cada suceso tiene probabilidad entre cero y uno.
Construir una probabilidad finita desigual
Ω={a, b, c}, con masas 1/2,1/3,1/6.
No negatividad
Todas son positivas.
Normalizar
1/2+1/3+1/6=1.Sumar piezas
P({a, c})=1/2+1/6=2/3; su complemento {b} tiene 1/3.
Es una probabilidad con resultados no equiprobables.
Enumerar tres resultados no autorizaba a asignar un tercio a cada uno.
Usar el complemento para una pregunta amplia
Una máquina falla con probabilidad 0,08.
Nombrar
F=fallo; Fᶜ=funcionamiento sin ese fallo.Restar del total
P(Fᶜ)=1−0,08.Resultado
P(Fᶜ)=0,92.
La probabilidad del complemento es 0,92.
El dato es un modelo probabilístico; no garantiza exactamente ocho fallos cada cien usos.
4. Separar regiones evita contar dos veces la intersección
Es monotonía: añadir resultados no reduce la probabilidad.
Para dos sucesos cualesquiera distinguimos solo A, ambos y solo B. Al sumar P(A)+P(B), la región de ambos aparece dos veces. Por eso P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). «O» incluye la posibilidad de que ocurran los dos, salvo que se especifique exclusión.
Ver las tres regiones en un dado justo
A=par y B=mayor que 3.
Regiones
Solo A: {2}; ambos: {4,6}; solo B: {5}.
Unión
{2,4,5,6} tiene cuatro resultados.
Fórmula
3/6+3/6−2/6=4/6=2/3.
La intersección debe restarse una vez.
El dibujo ubica cada cara una sola vez; no se suman las seis apariciones de las dos listas sin corregir.
Convertir inclusión en una diferencia de probabilidades
A⊂B, P(A)=0,25, P(B)=0,7.
Descomponer
B=A∪(B∖A), sin solapamiento.Restar
P(B∖A)=0,7−0,25.Calcular
El resultado es 0,45, no negativo como exigía la inclusión.
P(B∖A)=0,45.
Si los datos dieran P(A)>P(B), el supuesto A⊂B sería incompatible con ellos.
5. Las cotas detectan datos imposibles sin reconstruir todo el modelo
Añadiendo no negatividad, la cota inferior es max(0, P(A)+P(B)−1).
Para una familia finita o numerable, P(⋃Aₙ)≤ΣP(Aₙ), aunque haya solapamientos. Se prueba reemplazando cada Aₙ por la parte que no apareció antes: Bₙ=Aₙ∖(A₁∪…∪Aₙ₋₁). Las Bₙ son disjuntas, tienen la misma unión y satisfacen P(Bₙ)≤P(Aₙ).
Dos grupos grandes tienen que solaparse
P(A)=0,7, P(B)=0,6; se propone P(A∩B)=0,2.
Cota inferior
0,7+0,6−1=0,3.Comparar
El valor propuesto 0,2 es menor.
Otra comprobación
La unión daría 0,7+0,6−0,2=1,1.
Los datos son imposibles en un mismo espacio de probabilidad.
No hace falta suponer independencia para detectar esa contradicción.
Acotar varios fallos sin conocer sus dependencias
Cuatro componentes tienen cada uno probabilidad de fallo 0,01.
Suceso de interés
Falla al menos uno: unión de los cuatro fallos.
Cota de unión
P(al menos uno)≤4·0,01=0,04.Complemento
P(ningún fallo)≥0,96.
Se garantiza una cota del modelo, no un valor exacto.
Para escribir 1−0,99⁴ como probabilidad de algún fallo sí necesitaríamos independencia.
6. Contar favorables solo sirve cuando contamos resultados equiprobables
En un espacio finito con |Ω| resultados, si cada uno tiene probabilidad 1/|Ω|, entonces P(A)=|A|/|Ω|. La igualdad de pesos se justifica mediante el modelo: dado justo, selección uniforme u otra hipótesis explícita.
Podemos describir una bolsa por bolas etiquetadas o solo por colores. Ambos espacios pueden ser válidos, pero en el segundo los pesos de los colores deben sumar los de sus bolas. Dos colores posibles no implican probabilidad un medio para cada uno.
Ocho bolas y dos colores
Tres rojas y cinco azules; se elige uniformemente una de las ocho bolas.
Etiquetar
R₁, R₂, R₃, A₁,…, A₅ tienen masa 1/8 cada una.
Agrupar
Rojo reúne tres resultados: P(R)=3/8.Reducir el espacio
Si Ω solo registra {rojo, azul}, asignamos pesos 3/8 y 5/8.
El espacio de colores es válido con pesos desiguales.
El dibujo cuenta bolas y no atribuye un medio por el mero hecho de mostrar dos colores.
Las sumas de dos dados no son once opciones iguales
Dos dados justos independientes.
Parejas
Cada una de las 36 parejas ordenadas pesa 1/36.
Suma 2
Solo viene de (1,1): probabilidad 1/36.
Suma 8
Viene de (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2): probabilidad 5/36.
No se divide entre once sumas como si fueran equiprobables.
Las casillas del dibujo tienen pesos iguales; sus grupos por suma tienen tamaños distintos.
7. En un espacio numerable sumamos masas; en el continuo medimos longitudes
En Ω={1,2,…}, masas pₙ≥0 con suma uno determinan P(A)=Σ de pₙ para n∈A. No hay distribución uniforme sobre todos los enteros positivos: una masa común positiva daría un total infinito y una masa común cero daría cero.
En el uniforme de [0,1], la probabilidad de un intervalo es su longitud y cada punto tiene probabilidad cero. La unión de todos los puntos tiene probabilidad uno, pero es una unión no numerable; el axioma no permite sustituirla por una suma numerable de ceros.
Una distribución infinita que sí suma uno
P({n})=2^(−n), n≥1.
Normalizar
1/2+1/4+1/8+…=1.Pares
P(n par)=1/4+1/16+….Geométrica
La suma es (1/4)/(1−1/4)=1/3.
P(par)=1/3.
No usamos la intuición de «mitad pares, mitad impares»: los primeros números reciben más masa.
El continuo calcula una franja, no cuenta sus puntos
U uniforme en [0,1].
Intervalo
P(0,2<U≤0,7)=0,7−0,2=0,5.Punto
P(U=0,4)=0.Extremos
Añadir o quitar esos puntos no cambia la longitud del intervalo.
La franja tiene probabilidad 1/2 y cada punto aislado, cero.
Los dos conjuntos tienen infinitos puntos, pero la probabilidad se definió por longitud y no por un cociente de cardinales.
8. Probabilidad cero y conjunto vacío son nociones distintas
En el uniforme continuo,{1/2} es un suceso no vacío con probabilidad cero. Un suceso de probabilidad uno ocurre casi seguramente: su complemento es nulo, pero puede contener resultados del espacio.
En cambio, en un espacio finito donde cada resultado tiene masa positiva, un suceso no vacío contiene al menos una masa positiva y no puede ser nulo. Siempre se declara el modelo antes de traducir «probabilidad cero» por «imposible». Una probabilidad pequeña tampoco es cero.
Un conjunto denso puede tener probabilidad cero
U uniforme en [0,1]; Q=valores racionales del intervalo.
Cada racional
Un punto tiene probabilidad cero.
Unión numerable
Los racionales son numerables, así P(U racional)=0.
Complemento
P(U irracional)=1, aunque también existan racionales en Ω.
U es irracional casi seguramente.
Que todo intervalo contenga racionales no les da longitud positiva; densidad topológica y probabilidad son propiedades distintas.
El modelo finito da otra conclusión
Ω={a, b, c}, con pesos 1/2,1/3,1/6.
Suceso no vacío
Debe contener al menos uno de los tres resultados.
Masa mínima
Su probabilidad es al menos 1/6.
Nulo
La única posibilidad de probabilidad cero es ∅.
Aquí sí, un suceso nulo tiene que ser vacío.
No trasladamos esa conclusión al uniforme continuo del ejemplo anterior.
9. Disjuntos significa excluirse; independientes significa multiplicar pesos
Dos sucesos disjuntos de probabilidad positiva no son independientes: su intersección pesa cero y el producto es positivo.
La independencia pertenece al modelo probabilístico, no solo al dibujo de conjuntos. Dos monedas justas no bastan para asegurar independencia si el mecanismo las obliga a coincidir. En el siguiente tema usaremos condicionadas para interpretar qué significa no cambiar probabilidades al conocer información.
Dos caras distintas del mismo dado se excluyen
Dado justo, A={1}, B={2}.
Intersección
A∩B=∅, así P(A∩B)=0.Producto
P(A)P(B)=1/36.Comparar
Cero no es 1/36.
Son disjuntos y dependientes.
Saber que salió 1 hace imposible que haya salido 2 en el mismo lanzamiento.
Sucesos que pueden coincidir y son independientes
Dos lanzamientos justos e independientes; A=primera cara, B=segunda cara.
Marginales
P(A)=P(B)=1/2.Intersección
La secuencia cara-cara pesa 1/4.
Producto
1/2·1/2=1/4.
Son independientes y no disjuntos.
La conclusión usa la independencia declarada en los lanzamientos; no procede solo de tener dos símbolos de cara y cruz.
10. La aditividad numerable permite aproximar sucesos por límites
Si Aₙ crece por inclusión, lo dividimos en incrementos disjuntos: A₁, A₂∖A₁, A₃∖A₂,… . Las sumas parciales de sus probabilidades son P(Aₙ), y su suma total es P(⋃Aₙ).
Si Aₙ decrece, los complementos crecen.
El conjunto límite puede ser no vacío aunque su probabilidad sea cero.
Aproximar un intervalo que no contiene su extremo
U uniforme en [0,1], Aₙ={U≤1−1/n}, n≥1.
Inclusión
Los extremos 0,1/2,2/3,… crecen.
Unión
Se obtiene {U<1}, sin incluir el punto 1.Probabilidades
P(Aₙ)=1−1/n→1.
La unión tiene probabilidad uno, aunque no sea todo Ω.
El único punto excluido tiene probabilidad cero.
Los intervalos se cierran sobre un único punto
Aₙ={0≤U≤1/n}.
Decrecen
Cada nuevo intervalo está contenido en el anterior.
Intersección
Solo queda U=0.Límite de masas
P(Aₙ)=1/n→0=P(U=0).
El conjunto límite es no vacío y tiene probabilidad cero.
La continuidad de la medida respeta exactamente la diferencia entre masa y existencia de resultados.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Dos dados
Probabilidad de suma 7 al lanzar dos dados justos independientes.
Modelo
Los resultados son parejas ordenadas (i, j); hay 6·6=36.
Pesos
Dados justos e independientes dan 1/6·1/6=1/36 por pareja.
Seleccionar
i+j=7 equivale a j=7−i.Listar
(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1).
Sumar
Son seis sucesos elementales disjuntos:6·1/36=1/6.Comprobar
Hay exactamente un compañero para cada primer dado. La cuenta se hizo sobre parejas equiprobables, no sobre sumas.
1/6.
Para cada valor del primer dado hay exactamente un compañero que completa siete. Son seis favorables de treinta y seis, sin suponer equiprobabilidad de las sumas.
EJEMPLO RESUELTO 2
Unión
P(A)=0,4,P(B)=0,5,P(A∩B)=0,2. Calcula P(A∪B).
Datos
P(A)=0,4, P(B)=0,5 y el solapamiento pesa 0,2.Solo A
0,4−0,2=0,2.Solo B
0,5−0,2=0,3.Reunir tres piezas
0,2+0,2+0,3=0,7.Fórmula equivalente
P(A∪B)=0,4+0,5−0,2=0,7.Comprobar el exterior
El complemento de la unión pesa 0,3 y las cuatro regiones suman uno.
0,7.
El complemento de la unión tiene probabilidad 0,3. Las tres piezas de la unión y esa exterior suman uno.
Los símbolos que hemos usado
- Ω
- Espacio de resultados posibles de un experimento o modelo.
- Σ
- Sigma álgebra de sucesos medibles, familia cerrada por complemento y uniones numerables.
- P
- Medida de probabilidad no negativa, numerablemente aditiva y con P(Ω)=1.
- Aᶜ
- Suceso complementario: resultados de Ω que no pertenecen a A.
- A∪B, A∩B
- Sucesos de que ocurra al menos uno o de que ocurran ambos.
- Disjuntos
- Sucesos con intersección vacía; no pueden ocurrir simultáneamente.
- Casi seguro
- Propiedad cuyo suceso tiene probabilidad uno, aunque pueda excluir resultados posibles de probabilidad cero.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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