Independencia, probabilidad condicionada y Bayes

Para P(B)>0, la información B deja fuera sus resultados complementarios. La parte favorable a A dentro del grupo es A∩B. Dividir por el peso total P(B) restaura el total uno: P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Se lee «probabilidad de A dado B».

Para B fijo, esa regla es otra probabilidad sobre los sucesos: no negativa, total uno y numerablemente aditiva. En modelos equiprobables se traduce en favorables dentro del grupo divididos por el tamaño del grupo. Con pesos desiguales se suman pesos; no se cuentan resultados como si fueran iguales.

Para tres etapas: P(A∩B∩C)=P(A)P(B|A)P(C|A∩B), si los grupos condicionantes tienen masa positiva.

En un árbol, cada rama se refiere al nodo del que sale y sus probabilidades suman uno. Un camino completo multiplica esos factores; hojas disjuntas que responden la misma pregunta se suman. Si un prefijo ya tiene probabilidad cero, todo ese camino pesa cero y no se inventa una condicionada 0/0.

La definición por producto sigue teniendo sentido para sucesos nulos.

Repetir el argumento da los dos complementos. En cambio, disjunción solo significa intersección vacía; con dos probabilidades positivas excluye la independencia.

Independencia mutua de A₁,…, Aₙ significa que cada subfamilia tiene probabilidad de intersección igual al producto de sus marginales. Para tres sucesos se comprueban las tres parejas y también la intersección triple.

El dibujo usa dos bits justos independientes y un tercer bit C=A⊕B, que vale 1 cuando los primeros difieren. Cada pareja de columnas tiene los cuatro pares posibles con igual peso, pero conocer dos columnas determina la tercera. Esa restricción no aparece al mirar parejas aisladas.

Si Bᵢ forman una partición finita o numerable, las partes A∩Bᵢ son disjuntas y reúnen A.

Si alguna parte tiene masa cero, su contribución conjunta es cero sin definir una razón condicionada por ella.

No se suman tasas de grupos sin sus pesos. Una tasa del 4 % en una fábrica pequeña no aporta lo mismo al total que esa misma tasa en una fábrica grande. El árbol hace visible qué grupo alimenta cada ruta.

P(Bⱼ∩A) puede escribirse como P(A|Bⱼ)P(Bⱼ) o como P(Bⱼ|A)P(A).

El denominador se obtiene sumando todas las rutas de evidencia de la partición.

La previa es el peso del grupo antes de conocer A; la verosimilitud es cuán frecuente resulta A en ese grupo; la posterior es su nuevo peso entre quienes cumplen A. Son papeles distintos. La tabla de animales permite verlo también contando, dentro de un modelo de elección uniforme.

Para hipótesis H y Hᶜ con previas positivas y verosimilitudes no nulas, las odds posteriores son P(H|A)/P(Hᶜ|A). Al dividir las dos fórmulas de Bayes, se obtiene odds posteriores=odds previas·P(A|H)/P(A|Hᶜ).

La razón de verosimilitudes mide cuánto favorece la señal a una hipótesis frente a la otra. Una señal frecuente en H puede dar una posterior modesta cuando H es raro y también existen señales en el grupo mucho mayor Hᶜ. Los conteos del dibujo son proporciones exactas del modelo, no una predicción garantizada de un lote real.

Se está afirmando una propiedad dentro de un nuevo universo. No equivale a independencia global y no se hereda automáticamente al seleccionar una subpoblación.

También puede ocurrir lo contrario: dos variables independientes dentro de cada grupo se vuelven dependientes al mezclar grupos con tendencias distintas. Por eso se especifica siempre respecto a qué información se afirma independencia.

Condicionar por valores exactos de una variable continua requiere densidades condicionadas o una teoría de condicionamiento más general; las versiones se determinan casi seguramente bajo sus hipótesis.

Antes de aplicar Bayes se comprueba que la evidencia tiene masa positiva. Después, las posteriores de una partición deben ser no negativas y sumar uno. Una probabilidad muy pequeña no es cero: y una posterior mayor que uno denuncia un cálculo o unos datos incoherentes.

Bayes es una identidad exacta de un modelo válido; una sola aplicación no es «menos correcta» por ser la primera. Con dos evidencias, A₁, A₂, la actualización usa P(A₂|H, A₁) y P(A₂|Hᶜ, A₁). Solo con independencia condicional apropiada se reemplazan por las verosimilitudes individuales.

Releer el mismo dato no aporta una segunda observación independiente. Confundir duplicación con información nueva cuenta dos veces la señal. Las odds permiten comprobar ambos casos con números pequeños.