Compacidad, productos y espacios cociente

Una cubierta abierta de X es una familia de abiertos cuya unión contiene todo X. X es compacto si de cada cubierta podemos seleccionar finitas piezas que aún lo cubran. El número de piezas puede cambiar con la cubierta; no se exige una cantidad fija.

Todo espacio finito es compacto: elegimos una pieza por punto. En ℝⁿ usual, Heine–Borel caracteriza los compactos como cerrados y acotados. Fuera de ese ambiente la regla puede fallar: un discreto infinito con distancia cero o uno es cerrado y acotado en sí mismo, pero su cubierta por singletons no tiene subcubierta finita.

Una imagen continua de un compacto es compacta. Una cubierta abierta de la imagen se lleva por preimagen a una cubierta del dominio; seleccionamos finitas piezas allí y sus originales cubren la imagen. Si la función no es sobreyectiva, la conclusión sigue siendo solo sobre su imagen.

Un cerrado C de un compacto X también es compacto: añadimos X∖C a una cubierta de C, seleccionamos finitas piezas que cubran X y descartamos ese complemento al volver a C.

En un Hausdorff, todo compacto K es cerrado. Para y fuera de K, separamos y de cada k mediante abiertos disjuntos. Finitos de los abiertos de k cubren K por compacidad; la intersección de los correspondientes abiertos de y es un entorno suyo que evita K.

Así el complemento de K es abierto. Aquí sí se necesitó Hausdorff.

Sea f:X→Y una biyección continua, con X compacto e Y Hausdorff. Si C es cerrado de X, C es compacto, f(C) también lo es y por Hausdorff es cerrado en Y. Así f lleva cerrados a cerrados.

La preimagen de C mediante la función inversa es f(C). Como siempre es cerrada, la inversa es continua. f es homeomorfismo. Esta prueba evita calcular una fórmula explícita para la inversa, pero no permite omitir biyección, compacidad ni la hipótesis sobre el codominio.

En un producto ∏Xᵢ, un básico tiene forma ∏Uᵢ, con Uᵢ abierto y Uᵢ=Xᵢ salvo en finitos índices. La topología producto está diseñada para hacer continuas las proyecciones πᵢ: la preimagen de un abierto restringe esa única coordenada.

Una aplicación f hacia el producto es continua si y solo si cada coordenada πᵢ∘f lo es. Para la dirección útil, la preimagen de un básico es intersección de finitas preimágenes abiertas. Si se permitieran infinitas restricciones independientes, el argumento de intersección finita dejaría de funcionar.

Sean A,B compactos y una cubierta abierta de A×B.

Para cada b∈B elige un rectángulo U_b×V_b que contenga (a,b) y esté dentro de alguna pieza de la cubierta. Los V_b cubren B; elegimos finitos V₁,…,Vₘ.

El tubo Uₐ×B queda cubierto por las m piezas originales asociadas. Los Uₐ cubren A y, por compacidad, bastan finitos. Reuniendo sus finitas listas obtenemos una selección finita de la cubierta inicial que cubre A×B.

Repetir esta prueba demuestra cualquier producto con un número finito de factores. No se está repitiendo infinitas veces: para el producto arbitrario hará falta un teorema distinto.

Tychonoff afirma que un producto arbitrario de compactos es compacto en la topología producto, en el marco habitual con axioma de elección. El argumento general utiliza herramientas adicionales a los tubos finitos; la palabra arbitrario no elimina la condición sobre la topología.

La topología caja permite restringir todas las coordenadas simultáneamente y puede perder compacidad. El producto numerable de espacios discretos de dos puntos ofrece una comparación clara: en producto es compacto; en caja cada punto se aísla con un abierto y queda un discreto infinito.

Dada una equivalencia ∼ en X, el cociente X/∼ contiene clases, y q envía cada punto a su clase. Definimos U abierto en el cociente exactamente cuando q⁻¹(U) es abierto en X. Es la topología más fina que hace continua a esa proyección sobreyectiva.

Una preimagen q⁻¹(U) debe contener clases completas: es un conjunto saturado. La imagen de un abierto A de X no tiene por qué ser abierta, porque su preimagen al volver es la saturación de A, que puede añadir puntos sin sus entornos. Las identificaciones se justifican con esa regla, no solo con el dibujo.

Si f:X→Y es constante en cada clase, existe una única función f̄:X/∼→Y con f̄([x])=f(x). Que sea constante es lo que hace independiente el representante. No garantiza todavía que f̄ sea inyectiva: dos clases diferentes podrían tener la misma imagen.

La propiedad universal afirma que f̄ es continua si y solo si f lo es. En efecto, q⁻¹(f̄⁻¹(V))=f⁻¹(V), y la definición de cociente detecta apertura por esa preimagen. Para obtener una biyección, además comprobamos que las fibras de f sean exactamente las clases y que se alcancen todas las salidas.

Si X es compacto, su cociente también lo es porque q es continua y sobreyectiva. La conexión pasa por el mismo motivo. Sin embargo, un cociente de un Hausdorff puede dejar de ser Hausdorff: la identificación puede impedir construir entornos disjuntos.

En [0,1], identifica todos los puntos de (0,1] como una clase B y deja A={0}. Los abiertos del cociente son ∅,{B},{A,B}. La preimagen de {B} es abierta relativa y la de {A} no. Cualquier entorno abierto de A es todo el espacio, así no puede ser disjunto de un entorno de B.

En [0,1] identificamos solo cero con uno. f(t)=(cos(2πt),sen(2πt)) es continua y recorre el círculo unidad. f(s)=f(t) equivale a s−t entero; dentro de [0,1] eso significa s=t o el par de extremos. Sus fibras son exactamente las clases.

La aplicación inducida es una biyección continua del cociente al círculo. El cociente es compacto por imagen de [0,1] y el círculo es Hausdorff como subespacio de ℝ². El criterio compacto–Hausdorff da continuidad de la inversa: es un homeomorfismo. Así el dibujo de extremos unidos queda respaldado por las topologías.

Otra aplicación: una función real continua en un compacto no vacío tiene imagen compacta en ℝ, por tanto cerrada y acotada. Su supremo e ínfimo pertenecen a la imagen y se alcanzan; por eso existen máximo y mínimo.