Para rodear una tarjeta medimos su borde. Ahora queremos cubrirla por dentro con cuadrados iguales, sin dejar huecos ni poner un cuadrado encima de otro. La cantidad de superficie que cubrimos se llama área. Empezaremos contando esos cuadrados antes de usar ninguna fórmula.
Si necesitas repasar:
1. El área mide el interior que cubrimos
Observa el rectángulo dividido en casillas. Cada casilla es un cuadrado de 1 cm de lado: tiene 1 cm de anchura y 1 cm de altura. Diez de esos cuadrados cubren todo el interior del rectángulo.
Decimos que su área es de diez centímetros cuadrados y escribimos 10 cm². El pequeño 2 recuerda que la unidad de superficie es un cuadrado, no un tramo de longitud. No significa que haya que duplicar el resultado.
Pintar o rodear
Queremos saber cuánta cartulina necesitamos para cubrir la cara de una tarjeta. ¿Miramos el área o el perímetro?
Identificamos qué hay que medir
La cartulina tapa la superficie interior.
Elegimos la medida
Necesitamos el área de esa cara.
Necesitamos el área.
Si nos pidieran cinta para el borde, necesitaríamos el perímetro.
Interpretar la unidad
Una figura tiene área 6 cm². ¿Qué significa?
Leemos el cuadrado unidad
Un cm² es la superficie de un cuadrado de 1 cm por lado.
Interpretamos el seis
La figura ocupa tanta superficie como seis de esos cuadrados.
Equivale a seis cuadrados de 1 cm por lado.
La figura no tiene que ser un cuadrado; lo cuadrado es la unidad con la que medimos.
2. Usamos cuadrados iguales, sin huecos ni superposiciones
Para comparar superficies, todos los cuadrados que contamos deben tener el mismo tamaño. Cinco cuadrados grandes pueden cubrir más que diez pequeños. Sin fijar el tamaño de la unidad, contar piezas no basta.
Dos mitades del mismo cuadrado unidad cubren lo mismo que un cuadrado completo. En el dibujo las reunimos sin solapar. Por eso podemos contar cuadrados completos y juntar las fracciones que queden en los bordes.
Piezas que se superponen
Colocamos ocho cuadrados unidad, pero uno está exactamente encima de otro. ¿Hemos cubierto ocho unidades cuadradas distintas?
Miramos la superficie cubierta
Dos piezas ocupan el mismo lugar.
Contamos cada zona una sola vez
Solo hay siete posiciones distintas cubiertas.
Hemos cubierto 7 unidades cuadradas.
El área mide superficie cubierta, no cuántas piezas hemos sacado de la caja.
Completar cuadrados con mitades
Una figura ocupa cuatro cuadrados completos y dos medios cuadrados iguales a los del dibujo. Halla su área.
Juntamos las dos mitades
1/2 + 1/2 = 1 cuadrado unidad.Añadimos los completos
4 + 1 = 5.
Su área es 5 unidades cuadradas.
Si solo contásemos los cuatro completos, dejaríamos sin medir las dos mitades.
3. Las filas iguales permiten contar multiplicando
El rectángulo del dibujo tiene tres filas. Cada fila contiene cinco cuadrados de 1 cm².
También hay cinco columnas de tres cuadrados: 5 × 3 = 15. Cambiar el orden de los factores no cambia cuántas casillas cubren el rectángulo. Primero identificamos qué cuenta cada número y después multiplicamos.
Tres filas de siete
Un mosaico tiene tres filas de siete baldosas iguales. ¿Cuántas baldosas lo cubren?
Leemos una fila
Cada una aporta siete baldosas.
Contamos las tres filas
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21.
Lo cubren 21 baldosas.
Si usamos una baldosa como unidad, el área es 21 unidades cuadradas. Sin saber su tamaño no afirmamos 21 cm².
Dos filas de ocho cuadrados unidad
Una figura rectangular tiene dos filas de ocho cuadrados de 1 cm². Calcula su área.
Identificamos las unidades de cada fila
Hay 8 cm² en cada una.
Contamos ambas filas
2 × 8 = 16.
Su área es 16 cm².
Ocho columnas de dos cuadrados dan el mismo total.
4. La fórmula del rectángulo resume esas filas
El rectángulo del dibujo mide 6 cm de base y 2 cm de altura. La base indica cuántos cuadrados de 1 cm caben en una fila: seis. La altura indica cuántas filas de 1 cm caben: dos.
Podemos llamar b a la base, h a la altura y A al área.
En un rectángulo, base y altura son longitudes perpendiculares. Deben estar expresadas en la misma unidad antes de multiplicar.
Un rectángulo de ocho por dos
Una tarjeta rectangular mide 8 cm por 2 cm. Calcula su área.
Elegimos la unidad cuadrada
Mediremos en cm² porque las dos longitudes están en cm.
Multiplicamos las dimensiones
A = 8 × 2 = 16.
El área es 16 cm².
Podemos imaginar dos filas de ocho cuadrados de 1 cm por lado.
Una superficie mayor
Una alfombra rectangular mide 2 m por 3 m. Calcula su área.
Interpretamos el cuadrado unidad
Ahora cada unidad es un cuadrado de 1 m por lado.
Contamos filas y columnas
2 × 3 = 6.
El área es 6 m².
El resultado está en metros cuadrados, no en metros ni en centímetros cuadrados.
5. En un cuadrado multiplicamos el lado por sí mismo
Un cuadrado también es un rectángulo. Si mide 4 cm de lado, tiene cuatro filas de cuatro cuadrados unidad.
No confundimos esos cuatro grupos de cuatro con sumar solo dos lados.
También se escribe l²: «lado al cuadrado». El perímetro usa otra cuenta porque mide otra cosa: P = 4 × l. Algunas medidas pueden coincidir numéricamente, pero sus unidades y su significado siguen siendo distintos.
Área y perímetro del mismo cuadrado
Un cuadrado tiene lado 5 cm. Calcula las dos medidas.
Cubrimos su interior
Cinco filas de cinco: A = 5 × 5 = 25 cm².Recorremos su borde
Cuatro lados de cinco: P = 4 × 5 = 20 cm.
Área: 25 cm². Perímetro: 20 cm.
La superficie y la longitud del contorno tienen unidades distintas.
Reconstruir un cuadrado pequeño
Nueve cuadrados de 1 cm por lado forman un cuadrado completo. ¿Cuánto mide su lado?
Buscamos filas y columnas iguales
Tres filas de tres contienen 3 × 3 = 9 cuadrados.Leemos una longitud del borde
Cada fila mide 3 cm.
El lado mide 3 cm.
Su área vuelve a ser 3 × 3 = 9 cm²; no son 9 cm de lado.
6. Al cambiar la unidad de longitud, cambia el tamaño de cada cuadrado
Un decímetro son 10 cm. Por tanto, un cuadrado de 1 dm de lado mide 10 cm de ancho y 10 cm de alto.
No multiplicamos por diez una sola vez: la anchura y la altura cambian ambas de escala. Del mismo modo, un cuadrado de 1 m de lado tiene 100 cm por 100 cm y contiene 10 000 cm².
Dos decímetros cuadrados
Expresa 2 dm² en cm².
Leemos una unidad grande
Cada dm² contiene 100 cm².
Contamos dos unidades
2 × 100 = 200.
2 dm² = 200 cm².
No son 20 cm²: una unidad de área cambia en dos direcciones.
Longitudes diferentes antes de multiplicar
Un rectángulo mide 1 dm por 5 cm. Calcula su área en cm².
Unificamos las longitudes
1 dm = 10 cm.Multiplicamos medidas en la misma unidad
10 cm × 5 cm = 50 cm².
Su área es 50 cm².
Multiplicar 1 × 5 sin convertir mezclaría dos tamaños de unidad.
7. Una figura compuesta se puede dividir en partes sin solapar
En la L del dibujo trazamos una separación interior.
Podemos comprobarlo de otra manera: el rectángulo grande que la encierra mide 5 por 4 y ocupa 20 cm². Le falta una esquina de 2 por 2, es decir, 4 cm².
La división elegida puede cambiar; la superficie medida no.
Dos regiones sin superposición
Una figura está dividida en dos regiones que no se solapan, de 12 y 6 cm². Calcula el área total.
Revisamos cómo se unen
Cubren toda la figura y no comparten superficie interior.
Sumamos sus áreas
12 + 6 = 18.
El área total es 18 cm².
Solo podemos sumar así si ninguna parte del interior se cuenta dos veces.
Quitar una esquina
De un rectángulo de 5 cm por 3 cm se recorta una esquina rectangular de 2 cm por 1 cm. ¿Qué área queda?
Medimos el rectángulo completo
5 × 3 = 15 cm².Medimos lo retirado
2 × 1 = 2 cm².Restamos esa superficie
15 − 2 = 13 cm².
Quedan 13 cm².
Los 13 cm² que quedan y los 2 cm² retirados reconstruyen los 15 cm² iniciales.
8. Terminamos comprobando cobertura y unidades
Antes de responder, vuelve al dibujo: ¿hemos cubierto todo el interior?, ¿hemos contado alguna zona dos veces?, ¿hemos incluido las fracciones de casilla? Un resultado obtenido con una multiplicación no es suficiente si las filas no describen realmente la figura.
Escribe la unidad cuadrada cuando la conocemos. Si solo nos hablan de casillas unidad, podemos decir «unidades cuadradas». Si nos hablan de baldosas sin medidas, podemos contar baldosas, pero no inventar su tamaño en centímetros.
Siete casillas y dos mitades
Una figura ocupa siete casillas completas y dos medias casillas de la misma cuadrícula. Calcula su área.
Reunimos las fracciones
Dos medias casillas forman una completa.
Añadimos lo ya completo
7 + 1 = 8.
Ocupa 8 unidades cuadradas.
No son nueve unidades: cada media casilla ocupa solo la mitad de una unidad.
Detectar una unidad incorrecta
Una tarjeta mide 4 cm por 2 cm. Alguien responde «su área es 8 cm». Corrige solo lo necesario.
Revisamos la cuenta
4 × 2 = 8 es correcto.Revisamos lo que se ha medido
Son ocho cuadrados de 1 cm por lado; la unidad es cm².
Su área es 8 cm².
Los 8 cm expresarían una longitud, no la superficie que hemos calculado.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Baldosas en una habitación
Un suelo rectangular tiene 6 filas de 4 baldosas cuadradas iguales. ¿Cuántas baldosas cubren el suelo?
Interpretamos las filas
Hay seis filas y cada fila contiene cuatro baldosas.
Escribimos la suma repetida
4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4.
La abreviamos
6 × 4 = 24 baldosas.Delimitamos la unidad
El suelo está cubierto por 24 baldosas. Sin sus dimensiones, no convertimos esa cantidad en cm².
Cubren el suelo 24 baldosas.
12 + 12 = 24: todas las filas quedan incluidas.
EJEMPLO RESUELTO 2
Área y borde de una tarjeta
Una tarjeta rectangular mide 5 cm de base y 2 cm de altura. Calcula su área y su perímetro.
Identificamos las dos preguntas
El área mide el interior y el perímetro mide el borde.
Cubrimos el rectángulo
Dos filas de cinco cuadrados de 1 cm²: A = 5 × 2 = 10 cm².Recorremos los cuatro lados
P = 5 + 2 + 5 + 2 = 14 cm.Comprobamos las unidades
Respondemos 10 cm² de área y 14 cm de perímetro; no intercambiamos superficie y longitud.
Área: 10 cm². Perímetro: 14 cm.
Dos filas de cinco cubren diez cuadrados; los cuatro lados suman catorce unidades de longitud.
Los símbolos que hemos usado
- Área
- Medida de la superficie que cubre una figura.
- Unidad cuadrada
- Cuadrado de lado una unidad que usamos para medir superficies.
- cm²
- Centímetro cuadrado: área de un cuadrado de lado un centímetro.
- Fila
- Grupo de casillas colocadas una al lado de otra.
- Base y altura
- En un rectángulo, dos longitudes perpendiculares que indican cuántos cuadrados caben por fila y cuántas filas hay.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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