Tenemos varias cajas y en cada una colocamos la misma cantidad de fichas. Vamos a contar las cajas y su contenido por separado. La multiplicación aparecerá después, como una manera de escribir ese dibujo sin volver a sumar uno por uno.
Si necesitas repasar:
1. Antes de multiplicar, comprobamos si los grupos son iguales
Hay tres cajas con cuatro fichas en cada una.
Se repite siempre la misma cantidad: cuatro. Esa igualdad entre grupos permite escribir una multiplicación.
Si una caja tuviera dos, otra cuatro y otra cinco, no podríamos decir «tres cajas de cuatro». El número de cajas seguiría siendo tres, pero su contenido total sería 2 + 4 + 5 = 11. Primero miramos qué se repite realmente.
Reconocer la cantidad repetida
Hay dos bolsas con tres fichas cada una. ¿Cuántas fichas reúnen?
Contamos bolsas y fichas por bolsa
Hay dos grupos. Los dos contienen tres.
Reunimos sus contenidos
3 + 3 = 6.No sumamos 2 + 3: eso mezclaría bolsas con fichas por bolsa.
Hay 6 fichas.
Podemos vaciar las dos bolsas y contar seis objetos, uno por uno.
Un grupo distinto cambia el modelo
Una caja tiene dos fichas y otra cinco. ¿Son dos grupos de cinco?
Comparamos sus contenidos
La primera tiene dos, no cinco. Los grupos no son iguales.
Contamos con una suma
2 + 5 = 7.Usar dos grupos de cinco daría diez y añadiría tres fichas inexistentes.
No; el total es 7 fichas.
Para escribir dos grupos de cinco habría que cambiar la primera caja.
2. Los dos factores describen grupos y cantidad por grupo
En esta lección escribimos primero cuántos grupos hay y después cuánto contiene cada uno.
El signo × se lee «por»; los números 3 y 4 se llaman factores y el resultado 12, producto.
El dibujo se traduce como 4 + 4 + 4: hay tres sumandos y cada uno vale cuatro. Las cajas no son objetos adicionales al contenido. El resultado responde cuántas fichas hay, no cuántas cajas y fichas sumadas.
Leer una multiplicación como grupos
Interpreta 4 × 2 y calcula.
Construimos el significado
Son cuatro grupos con dos objetos en cada uno.
Sumamos sus contenidos
2 + 2 + 2 + 2 = 8.
4 × 2 = 8.
El primer factor cuenta cuatro grupos; el segundo fija dos objetos por grupo.
Traducir una historia
Cinco sobres tienen tres tarjetas cada uno. Escribe la operación.
Identificamos las dos cantidades
Cinco sobres son los grupos; tres tarjetas son el contenido repetido.
Calculamos sin perder unidades
5 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 tarjetas.
La cuenta es 5 × 3 = 15 tarjetas.
Las cinco veces que añadimos tres terminan en quince.
3. Las filas muestran todos los objetos sin amontonarlos
Podemos ordenar doce fichas en tres filas con cuatro en cada fila. Cada fila es un grupo. Ver tres filas iguales ayuda a comprobar que no nos hemos saltado una ficha ni la hemos contado dos veces.
En una cuadrícula una casilla representa un objeto. Las filas se leen horizontalmente y las columnas verticalmente. Contar tres filas de cuatro da 3 × 4. Las líneas que separan casillas no son objetos nuevos.
Sillas en filas iguales
Hay dos filas de cinco sillas. ¿Cuántas sillas hay?
Elegimos una fila como grupo
Las dos filas tienen cinco sillas cada una.
Contamos el rectángulo
5 + 5 = 10: dos filas de cinco reúnen diez sillas.
Hay 10 sillas.
Al contar por columnas habría cinco columnas de dos, también diez.
Una fila no es una columna
Un dibujo tiene cuatro filas de tres puntos. ¿Cuántos grupos contamos si los grupos son filas?
Seguimos la dirección indicada
Hay cuatro filas, cada una con tres puntos.
Contamos todos los puntos
4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.
Son cuatro grupos y 12 puntos en total.
Si elegimos columnas, cambiarían los grupos: serían tres de cuatro, con los mismos doce puntos.
4. Cambiar el orden conserva el producto, aunque cambie la agrupación
El rectángulo de tres filas de cuatro también tiene cuatro columnas de tres. No hemos añadido ni quitado fichas: solo las contamos de otra manera.
Esta propiedad se llama conmutativa. Permite intercambiar los factores para calcular, pero en una historia conviene recordar qué representaba cada uno. Dos cajas de cinco y cinco cajas de dos reúnen diez objetos, aunque necesiten distinta cantidad de cajas.
Reutilizar un producto
Si 6 × 2 = 12, ¿cuánto vale 2 × 6?
Cambiamos la lectura del rectángulo
Seis filas de dos se pueden contar como dos columnas largas de seis.
Conservamos los objetos
El total no cambia: sigue siendo doce.
2 × 6 = 12.
Seis más seis y seis sumandos de dos dan el mismo total.
La historia no se intercambia palabra por palabra
Tres cajas contienen dos libros cada una. Si calculas 2 × 3, ¿cuántas cajas había originalmente?
Usamos la propiedad para calcular
2 × 3 = 6 da el total correcto de libros.Volvemos al enunciado
Seguían siendo tres cajas. El cambio de orden en la cuenta no transforma los datos de la historia.
Había 3 cajas y 6 libros.
Un resultado numérico correcto debe acompañarse de una interpretación correcta de cada cantidad.
5. Un solo grupo contiene una sola copia de la cantidad
Seis grupos de una ficha también contienen seis: 6 × 1 = 6. Multiplicar por uno conserva la cantidad; no añade una unidad.
El uno cuenta cuántas copias se reúnen. No se interpreta como una suma exterior. 6 × 1 y 6 + 1 son preguntas distintas y dan seis y siete respectivamente.
Una bolsa completa
Una bolsa tiene nueve piezas. ¿Cuántas piezas hay en una bolsa?
Contamos las copias
Hay una sola copia de nueve.
Escribimos el producto
1 × 9 = 9.
Hay 9 piezas.
No aparece una décima pieza por el hecho de tener una bolsa.
Muchos grupos de una pieza
Siete personas reciben un lápiz cada una. ¿Cuántos lápices se entregan?
Fijamos los grupos
Hay siete personas, con un lápiz para cada una.
Contamos las unidades repetidas
7 × 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7.
Se entregan 7 lápices.
Cada persona se empareja con un lápiz.
6. Cero objetos por grupo y cero grupos dan cero objetos
Tres cajas vacías siguen siendo tres cajas, pero contienen cero fichas: 3 × 0 = 0 + 0 + 0 = 0. La pregunta pide el contenido, no los recipientes.
Si no hay ninguna caja de cuatro fichas, no tenemos ninguna copia de cuatro: 0 × 4 = 0. Las dos situaciones describen agrupaciones diferentes con un total de objetos igual a cero.
Contar el contenido vacío
Hay cinco platos sin galletas. ¿Cuántas galletas hay?
Identificamos lo pedido
Se piden galletas. Cada plato contiene cero.
Reunimos los contenidos
5 × 0 = 0: no contamos los platos como si fueran galletas.
Hay 0 galletas.
Podría haber cinco platos y ninguna galleta al mismo tiempo.
Ninguna copia
Una caja llena tendría ocho piezas, pero no tenemos ninguna caja. ¿Cuántas piezas aportan esas cajas?
Miramos los grupos reales
El número de cajas disponibles es cero.
Contamos lo que existe
0 × 8 = 0.El ocho describe una caja hipotética, no una cantidad ya presente.
Aportan 0 piezas.
Multiplicar por cero no conserva el otro factor como lo hace multiplicar por uno.
7. Separar los grupos en dos partes conserva el total
Para seis filas de cuatro, podemos contar primero cinco filas: 5 × 4 = 20. Queda una fila de cuatro.
No hemos cambiado el tamaño de cada grupo.
Esta separación explica una propiedad útil: (5 + 1) × 4 = 5 × 4 + 1 × 4. La llamamos distributiva. El cuatro multiplica a ambas partes, porque todas las filas conservan cuatro objetos.
Un producto conocido y un grupo más
Calcula 7 × 3 partiendo de 5 × 3 = 15.
Separamos los siete grupos
Cinco ya están contados. Faltan dos grupos de tres.
Añadimos todo lo pendiente
2 × 3 = 6 y 15 + 6 = 21.
7 × 3 = 21.
Añadir solo dos daría diecisiete y olvidaría que cada grupo contiene tres objetos.
Partir el contenido de cada grupo
Calcula 4 × 6 separando seis en cinco y uno.
Dividimos cada grupo en dos partes
Cuatro grupos de cinco aportan veinte; cuatro grupos de uno aportan cuatro.
Reunimos las dos cantidades
4 × 6 = 4 × 5 + 4 × 1 = 20 + 4 = 24.
El producto es 24.
Cada uno de los cuatro grupos ha conservado sus seis objetos.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Cajas con el mismo contenido
Hay 4 cajas con 5 lápices en cada caja. ¿Cuántos lápices hay en total?
Identificamos los grupos iguales
Hay cuatro cajas y cada una tiene cinco lápices. No contamos las cajas como lápices.
Representamos la repetición
5 + 5 + 5 + 5 son cuatro grupos de cinco.
Calculamos el total
5, 10, 15 y 20 son los totales acumulados.
Escribimos 4 × 5 = 20.Comprobamos la respuesta
Hay 20 lápices. Repartir esos veinte en cuatro cajas de cinco reconstruye el dibujo inicial.
Hay 20 lápices.
Las cuatro cajas contienen la misma cantidad y las hemos contado todas.
EJEMPLO RESUELTO 2
Asientos en filas
Un aula tiene 3 filas de 6 sillas. ¿Cuántas sillas hay?
Leemos filas y contenido
Tres filas contienen seis sillas cada una.
Construimos la suma
6 + 6 + 6 = 12 + 6 = 18.Escribimos el producto con su significado
3 × 6 = 18: tres grupos y seis sillas en cada uno.
Comprobamos por columnas
El mismo rectángulo tiene seis columnas de tres; 6 × 3 también da dieciocho sillas.
Hay 18 sillas.
Contar por filas y por columnas da el mismo total.
Los símbolos que hemos usado
- ×
- Por: signo de multiplicación.
- Factor
- Cada uno de los números que multiplicamos.
- Producto
- Resultado de una multiplicación.
- Grupos iguales
- Grupos con el mismo número de elementos.
- Fila
- Una línea horizontal de elementos en una disposición ordenada.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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