Una tabla reúne los totales de grupos del mismo tamaño. Podemos construirla añadiendo un grupo cada vez y recuperar resultados que no recordamos usando otros que sí conocemos. La memoria llegará acompañada de una explicación.
Si necesitas repasar:
1. Cada paso de la tabla añade un grupo entero
Con grupos de cuatro, un grupo contiene 4, dos contienen 8 y tres contienen 12. Al pasar de dos grupos a tres añadimos cuatro objetos, no uno. La lista sigue 4, 8, 12, 16, 20…
Podemos empezar también por cero grupos: el total es 0. La tabla del cuatro relaciona 0, 1, 2, 3… grupos con 0, 4, 8, 12… objetos. El factor que cambia cuenta grupos; el tamaño de cada grupo permanece fijo.
El vecino siguiente
Si 3 × 4 = 12, calcula 4 × 4.
Buscamos lo que cambió
Hay un grupo de cuatro más.
Añadimos ese grupo
12 + 4 = 16.
4 × 4 = 16.
No añadimos uno: ese uno nuevo representa un grupo completo de cuatro.
El vecino anterior
Si 6 × 3 = 18, calcula 5 × 3.
Quitamos un grupo
Pasamos de seis grupos a cinco, manteniendo tres por grupo.
Retiramos tres objetos
18 − 3 = 15.
5 × 3 = 15.
Volver a sumar tres devuelve el producto de seis grupos.
2. Doblar es reunir dos cantidades iguales
Por eso multiplicar por dos es calcular el doble. Si sabemos un doble, podemos duplicarlo otra vez: cuatro grupos son dos grupos y otros dos.
Ocho grupos pueden construirse duplicando cuatro. En cada paso doblamos el total que ya teníamos; no sumamos simplemente dos por aparecer un nuevo doble.
Dos, cuatro y ocho grupos
Calcula 2 × 6, 4 × 6 y 8 × 6.
Construimos el primer doble
6 + 6 = 12.Duplicamos dos veces
Cuatro grupos dan 12 + 12 = 24; ocho dan 24 + 24 = 48.
Los productos son 12, 24 y 48.
Los grupos se duplican a la vez que se duplica su contenido total.
Duplicar un producto conocido
Si 3 × 7 = 21, calcula 6 × 7.
Partimos seis grupos en dos mitades iguales
Hay tres grupos y otros tres.
Juntamos dos copias del total conocido
21 + 21 = 42.
6 × 7 = 42.
Son seis copias de siete; no tres copias de catorce objetos nuevos.
3. Cinco grupos y diez grupos sirven de apoyo
Cinco grupos son la mitad de esos diez, así que contienen la mitad de setenta: 35.
Los resultados de la tabla del cinco terminan en cinco o en cero porque avanzamos sumando cinco: 5, 10, 15, 20… Los de la del diez avanzan de diez en diez. La cifra final es una pista para revisar, pero no determina por sí sola todo el resultado.
La mitad de diez grupos
Calcula 5 × 8 desde 10 × 8.
Calculamos diez copias
Diez grupos de ocho contienen ochenta.
Tomamos la mitad de los grupos
Cinco grupos contienen cuarenta.
5 × 8 = 40.
Otros cinco grupos aportarían cuarenta más y completarían los ochenta.
Terminar en cero no basta
¿Es 60 una respuesta correcta para 5 × 6 porque termina en cero?
Distinguimos pista y cuenta
Hay muchas cantidades que terminan en cero; no todas cuentan cinco grupos de seis.
Calculamos el producto
10 × 6 = 60 y su mitad es 30.Por tanto 5 × 6 = 30.
La respuesta correcta es 30.
Sesenta correspondería a diez grupos, el doble de los cinco pedidos.
4. Un grupo más o uno menos recupera un resultado
Seis grupos de ocho son cinco grupos de ocho y otro grupo de ocho: 6 × 8 = 40 + 8 = 48. Usamos un producto vecino para evitar empezar toda la cuenta de nuevo.
Nueve grupos de seis son diez grupos menos uno: 9 × 6 = 60 − 6 = 54. La cantidad que añadimos o retiramos es el tamaño del grupo repetido.
Un grupo más que cinco
Calcula 6 × 7 desde 5 × 7 = 35.
Identificamos el grupo pendiente
Falta una copia de siete.
La reunimos con el total conocido
35 + 7 = 42.
6 × 7 = 42.
Si hubiéramos añadido seis, cambiaríamos el tamaño del grupo.
Un grupo menos que diez
Calcula 9 × 8 desde diez grupos.
Partimos de diez copias
10 × 8 = 80.Retiramos la copia sobrante
80 − 8 = 72.
9 × 8 = 72.
72 + 8 = 80 comprueba el vecino siguiente.
5. Separar un rectángulo explica la suma de productos
Siete filas de seis se pueden separar en cinco filas y dos filas.
Juntas contienen 42, sin superponer ni perder ninguna.
Los paréntesis indican que primero contamos siete grupos como suma de dos cantidades de grupos. El seis se conserva en las dos partes.
Cinco grupos y tres grupos
Calcula 8 × 7 usando 5 × 7 y 3 × 7.
Calculamos ambas partes
5 × 7 = 35 y 3 × 7 = 21.Juntamos grupos sin repetirlos
35 + 21 = 56.
8 × 7 = 56.
Los cinco y los tres grupos completan exactamente ocho.
Elegir otra partición
Calcula 7 × 9 separando nueve en diez menos uno.
Contamos diez por cada grupo
7 × 10 = 70.Quitamos una unidad de cada grupo
Sobran siete unidades en total: 70 − 7 = 63.
7 × 9 = 63.
No quitamos solo uno: hay una unidad sobrante en cada uno de los siete grupos.
6. Una tabla comparte resultados con las demás
Un rectángulo de cuatro filas de ocho tiene las mismas casillas si contamos ocho columnas de cuatro.
Recordar uno de esos productos nos da el otro.
Al construir tablas no necesitamos tratar cada casilla como un dato aislado. Podemos usar ceros, unos, dobles, cinco, diez, vecinos y cambio de orden. La estrategia elegida debe reconstruir todos los grupos pedidos.
Cambiar al producto que recuerdas
Sabes que 3 × 8 = 24. Calcula 8 × 3.
Intercambiamos factores
La conmutativa conserva el producto.
Leemos el valor conocido
8 × 3 = 3 × 8 = 24.
8 × 3 = 24.
Ocho sumandos de tres y tres de ocho dan veinticuatro.
Cambiar de orden y después duplicar
Calcula 8 × 4 a partir de 4 × 4 = 16.
Duplicamos cuatro grupos
8 × 4 = 16 + 16 = 32.Reutilizamos el resultado si cambian el orden
4 × 8 también vale 32.
Los dos productos valen 32.
La igualdad procede del mismo rectángulo contado de dos maneras.
7. Recordar con una razón permite detectar errores
Si no recordamos un producto, lo reconstruimos con una estrategia que entendemos. Es mejor poder explicar de dónde sale un número que adivinar por cómo suena.
Comprobar con un producto vecino detecta errores concretos. Si proponemos 7 × 7 = 48, añadir otro grupo de siete daría 55, pero 8 × 7 = 56. La diferencia de una unidad avisa de que debemos revisar.
Reconstruir un cuadrado de la tabla
Calcula 7 × 7 desde 5 × 7 y 2 × 7.
Calculamos las partes conocidas
Cinco grupos contienen 35 y dos contienen 14.
Completamos los siete grupos
35 + 14 = 49.
7 × 7 = 49.
Al añadir siete resulta 56, que corresponde a ocho grupos.
Dos estrategias deben coincidir
Comprueba 6 × 9 por dos caminos.
Usamos cinco grupos y uno
5 × 9 + 1 × 9 = 45 + 9 = 54.Usamos diez menos uno por grupo
6 × 10 − 6 × 1 = 60 − 6 = 54.
Ambos caminos dan 54.
La coincidencia se apoya en dos particiones que conservan los mismos seis grupos de nueve.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Seis por ocho desde cinco grupos
Calcula 6 × 8 usando 5 × 8.
Identificamos el producto de apoyo
Cinco grupos de ocho contienen 5 × 8 = 40.Contamos lo que falta
Para llegar a seis grupos falta una copia de ocho, no una unidad.
Sumamos el grupo adicional
40 + 8 = 48.Comprobamos
6 × 8 = 48 y 48 − 8 = 40 recupera los cinco grupos iniciales.
6 × 8 = 48.
Seis grupos son dos bloques de tres grupos: ambos procedimientos dan 48.
EJEMPLO RESUELTO 2
Nueve por seis desde diez grupos
Calcula 9 × 6 sin recitar toda la tabla.
Construimos diez grupos
10 × 6 = 60.Reducimos a nueve
Sobra un grupo de seis, que retiramos entero.
Calculamos
60 − 6 = 54.Comprobamos
54 + 6 = 60.Hemos usado nueve grupos, sin recitar todos los resultados anteriores.
9 × 6 = 54.
Quitamos un grupo de seis, no una única unidad.
Los símbolos que hemos usado
- Tabla
- Lista ordenada de productos con un factor fijo.
- Doble
- Dos veces una cantidad.
- Mitad
- Una de dos partes iguales de una cantidad.
- Distributiva
- Separar un factor, multiplicar sus partes y reunir los resultados.
- Producto vecino
- Producto obtenido al añadir o quitar un grupo.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
Practicar este tema →