Multiplicar por varias cifras

Cuatro cajas con 23 piezas contienen cuatro copias de veinte y cuatro copias de tres. No estamos cambiando cuántas piezas tiene cada caja: las miramos en dos partes.

Cuatro cajas de 23 se escriben 4 × 23 con nuestra lectura de grupos. La conmutativa permite cambiar el orden para calcular 23 × 4 = (20 + 3) × 4. La distributiva multiplica ambas partes por cuatro: 20 × 4 + 3 × 4. Multiplicar solo el veinte dejaría sin contar las unidades de todas las cajas.

Para 23 × 4, las decenas aportan 20 × 4 = 80 y las unidades 3 × 4 = 12.

El resultado no es una escritura formada al pegar 80 y 12.

Este procedimiento funciona aunque el producto de las unidades pase de nueve. Podemos terminar sumando cantidades completas antes de aprender cómo anotar esos cambios en columnas.

Las cambiamos por 2 D y 4 U. Escribimos el cuatro en unidades y recordamos dos decenas sobre la columna siguiente.

Las tres decenas originales se multiplican por cuatro: 3 × 4 = 12 D. A esas doce sumamos las dos que ya se habían formado: 14 D. Junto a las cuatro unidades son 144. La llevada no se multiplica otra vez por cuatro, porque ya era parte del producto calculado.

Diez copias de tres unidades contienen treinta: esas unidades se convierten en decenas. Diez copias de dos decenas contienen veinte decenas, que son dos centenas.

En enteros no negativos esto se escribe añadiendo un cero a la derecha, pero la razón es el valor posicional. No añadimos una cifra sin más: cada cifra anterior pasa a un lugar que vale diez veces tanto. 23 × 20 son dos copias de 230, no veinte más 23.

Para 32 × 12 separamos 12 en 10 + 2. Las dos unidades aportan 32 × 2 = 64; la decena aporta 32 × 10 = 320. Son dos cantidades del mismo tipo que reunimos: 64 + 320 = 384.

En una cuenta vertical, la fila de decenas representa 320, aunque se use un desplazamiento de columna para anotarla. No se suma 64 + 32: el segundo 32 tendría que valer diez veces tanto. Los productos parciales se alinean por su valor antes de sumarlos.

En 105 × 4, las unidades dan veinte: escribimos cero y trasladamos dos decenas. La cifra cero de las decenas originales aporta 0 × 4 = 0 D, pero recibe 2 D del producto anterior.

El resultado es 420.

Una columna con cero no siempre queda en cero en el resultado: puede recibir grupos del lugar anterior. Tampoco se desplazan cifras para cerrar huecos. Cada una mantiene el valor que le corresponde.

Para revisar 25 × 12 podemos partir doce en diez y dos, o en cuatro grupos de tres.

Las dos cuentas reúnen doce copias de veinticinco.

Una estimación también detecta respuestas imposibles: 48 × 5 está cerca de 50 × 5 = 250 y debe ser menor. Eso descarta 2 400, pero no decide entre 230 y 240. La comprobación exacta necesita contar todas las partes.